Номер 19, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Призма

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание которой равно 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагонали трапеции являются биссектрисами её острых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

2. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = 10$ см, $BC = 16$ см. Боковое ребро призмы $AA_1$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$, а проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является середина отрезка $BC$. Найдите площадь грани $BB_1C_1C$.

3. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 5$ см, $AC = 8$ см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

1.

Поскольку призма прямая, ее боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту призмы. Найдем сначала стороны основания.

Основанием является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть меньшее основание $BC = 8$ см, а острый угол $\angle A = 60^{\circ}$. Так как трапеция равнобокая, $AB = CD$ и $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, $\angle BAC = \angle CAD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Поскольку прямые $AD$ и $BC$ параллельны, углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие. Таким образом, $\angle BCA = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $\angle BAC = \angle BCA = 30^{\circ}$, значит, он равнобедренный, и боковая сторона $AB$ равна основанию $BC$. Следовательно, $AB = BC = 8$ см.

Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Углы в нем равны $\angle CAD = 30^{\circ}$ и $\angle D = 60^{\circ}$. Тогда третий угол $\angle ACD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$. Треугольник $ACD$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ найдем большее основание $AD$ и диагональ $AC$:
$AD = \frac{CD}{\cos(60^{\circ})} = \frac{8}{1/2} = 16$ см.
$AC = CD \cdot \tan(60^{\circ}) = 8 \sqrt{3}$ см.

Периметр основания $P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 16 = 40$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы $AC_1$ образует с плоскостью основания угол $30^{\circ}$. Этот угол — $\angle C_1AC$. Так как призма прямая, треугольник $ACC_1$ — прямоугольный ($\angle C = 90^{\circ}$).

Высота призмы $H = CC_1$ равна:
$H = AC \cdot \tan(\angle C_1AC) = 8\sqrt{3} \cdot \tan(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P \cdot H = 40 \cdot 8 = 320$ см².

Ответ: $320$ см².

2.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = AC = 10$ см и $BC = 16$ см. Грань $BB_1C_1C$ — это параллелограмм. Его площадь равна произведению длины стороны $BC$ на высоту, проведенную к этой стороне.

Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $BM = MC = 16/2 = 8$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $AM$ является также и высотой, то есть $AM \perp BC$.

Из прямоугольного треугольника $AMB$ по теореме Пифагора найдем длину $AM$:
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

По условию, проекцией вершины $A_1$ на плоскость основания является точка $M$. Это означает, что $A_1M$ — высота призмы $H$, и $A_1M \perp (ABC)$.

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией $AM$, то есть $\angle A_1AM = 30^{\circ}$.

Из прямоугольного треугольника $A_1MA$ найдем высоту призмы $H = A_1M$:
$H = A_1M = AM \cdot \tan(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь грани $BB_1C_1C$ равна $S = BC \cdot h_{face}$, где $h_{face}$ — высота параллелограмма, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $BC$.

Пусть $K$ — проекция точки $B_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $B_1K$ — перпендикуляр к плоскости, и его длина равна высоте призмы $H = 2\sqrt{3}$ см (так как все точки верхнего основания находятся на одинаковом расстоянии от нижнего).

Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = AB$, их проекции на плоскость основания также будут параллельны и равны, то есть $MK \parallel AB$ и $MK=AB$. Но проекция $A_1$ это $M$, а проекция $B_1$ это $K$. Значит, вектор проекции $\vec{MK}$ равен вектору $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AM}$ перпендикулярен $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BK}$ получается из вектора $\vec{AM}$ параллельным переносом. Следовательно, $\vec{BK}$ перпендикулярен $\vec{BC}$. Таким образом, $KB \perp BC$. Длина отрезка $BK$ равна длине отрезка $AM$, то есть $BK = AM = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $B_1KB$. Он не является ключевым. Рассмотрим треугольник, образованный высотой параллелограмма $h_{face}$, её проекцией на основание и высотой призмы. Пусть $P$ — основание высоты $h_{face}$, опущенной из $B_1$ на прямую $BC$. $B_1P \perp BC$. Проекция этой высоты на плоскость основания — отрезок $KP$. Так как $B_1K \perp (ABC)$, то $B_1K \perp BC$. Так как $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B_1K$ и $KP$ (по теореме о трех перпендикулярах, если $B_1P \perp BC$, то и ее проекция $KP \perp BC$), то $BC$ перпендикулярна плоскости $B_1KP$. Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равно $BK$, так как $KB \perp BC$. Значит, $P$ совпадает с $B$, и $KP=KB=6$ см.

Высота параллелограмма $h_{face} = B_1B$ неверно, $P$ не совпадает с $B$. Проекция $K$ точки $B_1$ такова, что $\vec{MK}=\vec{AB}$. Расстояние от $K$ до прямой $BC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из $K$ на $BC$. Пусть $L$ - основание этого перпендикуляра. Вектор $\vec{BK}=\vec{AM}$. В треугольнике $AMB$, $\angle AMB=90^\circ$. Таким образом, $BK \perp BM$. Значит, $KB$ и есть расстояние от точки $K$ до прямой $BC$. $KL=KB=6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1LK$ (так как $B_1L \perp (ABC)$). Гипотенуза $B_1K$ является высотой параллелограмма $h_{face}$. Ой, $B_1K$ - это высота призмы. $KL=6$см. $h_{face}$ - это $B_1L$. В прямоугольном треугольнике $B_1KL$:
$h_{face}^2 = B_1K^2 + KL^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48$.
$h_{face} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь грани $BB_1C_1C$:
$S = BC \cdot h_{face} = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: $64\sqrt{3}$ см².

3.

Угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$ можно найти с помощью метода координат.

Введем систему координат. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC = 5$ см, $AC = 8$ см). Проведем высоту $BM$ к основанию $AC$. $BM$ будет также и медианой, поэтому $AM = MC = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $BMA$ найдем высоту $BM$:
$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Поместим начало координат в точку $M$. Ось $Ox$ направим вдоль $AC$, ось $Oy$ — вдоль $MB$. Ось $Oz$ будет направлена вдоль бокового ребра, так как призма прямая. Высота призмы $H = 12$ см.

Координаты вершин основания:
$A(-4, 0, 0)$, $C(4, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания:
$A_1(-4, 0, 12)$, $B_1(0, 3, 12)$, $C_1(4, 0, 12)$.

Найдем направляющие векторы прямых $AB_1$ и $BC_1$:
$\vec{u} = \vec{AB_1} = \{0 - (-4); 3 - 0; 12 - 0\} = \{4; 3; 12\}$.
$\vec{v} = \vec{BC_1} = \{4 - 0; 0 - 3; 12 - 0\} = \{4; -3; 12\}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot (-3) + 12 \cdot 12 = 16 - 9 + 144 = 151$.

Найдем длины векторов:
$|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Теперь вычислим косинус угла:
$\cos \theta = \frac{151}{13 \cdot 13} = \frac{151}{169}$.

Искомый угол $\theta = \arccos\left(\frac{151}{169}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{151}{169}\right)$.