Номер 18, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Геометрическое место точек пространства

1. Длина отрезка $AB$ равна 10 см. Найдите геометрическое место точек $X$, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и таких, что $AX = 13$ см.

2. Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 15 см, 13 см и 4 см. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что каждая из прямых $XA$, $XB$ и $XC$ образует с плоскостью $ABC$ угол, равный $60^\circ$.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и удалённых от плоскости $\alpha$ на 6 см.

1. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от точек $A$ и $B$, представляет собой плоскость $\gamma$, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину $O$.
По условию, длина отрезка $AB$ равна 10 см, значит, точка $O$ делит его на два отрезка $AO$ и $OB$ по 5 см. $AO = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Второе условие — $AX = 13$ см. Это ГМТ представляет собой сферу с центром в точке $A$ и радиусом $R = 13$ см.
Искомое ГМТ является пересечением этих двух множеств: плоскости $\gamma$ и сферы. Пересечением сферы и плоскости является окружность, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.
Расстояние от центра сферы (точки $A$) до плоскости $\gamma$ равно длине отрезка $AO$, то есть 5 см. Так как $5 < 13$, пересечением является окружность.
Центр этой окружности — точка $O$, середина отрезка $AB$. Окружность лежит в плоскости $\gamma$.
Для нахождения радиуса $r$ этой окружности рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOX$, где $O$ — основание перпендикуляра из $X$ на прямую $AB$ (поскольку $X$ лежит в плоскости $\gamma$, перпендикулярной $AB$), $AO$ — катет, $AX$ — гипотенуза, а $OX=r$ — второй катет.
По теореме Пифагора: $AX^2 = AO^2 + OX^2$.
$13^2 = 5^2 + r^2$
$169 = 25 + r^2$
$r^2 = 169 - 25 = 144$
$r = \sqrt{144} = 12$ см.
Таким образом, искомое геометрическое место точек — это окружность.
Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$, лежащая в плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$, и радиусом 12 см.

2. Пусть $X$ — точка, удовлетворяющая условию задачи, а $H$ — её проекция на плоскость треугольника $ABC$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.
Следовательно, углы между прямыми $XA$, $XB$, $XC$ и их проекциями $HA$, $HB$, $HC$ соответственно равны $60^\circ$: $\angle XAH = \angle XBH = \angle XCH = 60^\circ$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle XHA$, $\triangle XHB$, $\triangle XHC$ (прямые углы при вершине $H$). У них общий катет $XH$, и противолежащие этому катету углы равны $60^\circ$. Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему углу.
Из равенства треугольников следует равенство других катетов: $HA = HB = HC$.
Это означает, что точка $H$ в плоскости $ABC$ равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$. Такая точка является центром описанной окружности $\triangle ABC$.
Найдём радиус $R$ описанной окружности ($R = HA = HB = HC$). Стороны треугольника $a=13$ см, $b=4$ см, $c=15$ см.
Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{13+4+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-13)(16-4)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см$^2$.
Радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 4 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$ см.
Теперь найдём расстояние $XH$ от точки $X$ до плоскости $ABC$. Из $\triangle XHA$:
$\tan(\angle XAH) = \frac{XH}{HA} \implies XH = HA \cdot \tan(60^\circ) = R \cdot \sqrt{3} = \frac{65\sqrt{3}}{8}$ см.
Точки $X$ могут находиться по обе стороны от плоскости $ABC$. Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух точек, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$ и проходящей через центр описанной окружности этого треугольника, на расстоянии $\frac{65\sqrt{3}}{8}$ см от плоскости.
Ответ: Две точки, симметричные относительно плоскости $ABC$ и лежащие на перпендикуляре к этой плоскости, проведённом через центр описанной окружности треугольника $ABC$, на расстоянии $\frac{65\sqrt{3}}{8}$ см от плоскости.

3. Обозначим искомое геометрическое место точек (ГМТ) как $M$.
Первое условие: точки $M$ равноудалены от пересекающихся плоскостей $\alpha$ и $\beta$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это пара биссекторных плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
Второе условие: точки $M$ удалены от плоскости $\alpha$ на 6 см. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это пара плоскостей, параллельных плоскости $\alpha$ и находящихся на расстоянии 6 см от неё (по одной с каждой стороны).
Искомое ГМТ должно удовлетворять обоим условиям одновременно.
Пусть $X$ — произвольная точка искомого ГМТ. Из второго условия следует, что расстояние от $X$ до плоскости $\alpha$ равно 6 см: $d(X, \alpha) = 6$ см.
Из первого условия следует, что расстояние от $X$ до $\alpha$ равно расстоянию от $X$ до $\beta$: $d(X, \alpha) = d(X, \beta)$.
Объединяя эти два факта, получаем, что для любой точки $X$ из искомого ГМТ должно выполняться: $d(X, \alpha) = 6$ см и $d(X, \beta) = 6$ см.
Множество точек, удалённых от плоскости $\alpha$ на 6 см, — это две параллельные ей плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.
Множество точек, удалённых от плоскости $\beta$ на 6 см, — это две параллельные ей плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$.
Искомое ГМТ является пересечением этих двух пар плоскостей: $(\alpha_1 \cup \alpha_2) \cap (\beta_1 \cup \beta_2)$.
Так как исходные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, то любая плоскость, параллельная $\alpha$, будет пересекать любую плоскость, параллельную $\beta$. Пересечением двух непараллельных плоскостей является прямая.
Следовательно, искомое ГМТ состоит из четырех прямых, полученных в результате пересечений: $\alpha_1 \cap \beta_1$, $\alpha_1 \cap \beta_2$, $\alpha_2 \cap \beta_1$ и $\alpha_2 \cap \beta_2$.
Все эти четыре прямые параллельны линии пересечения исходных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Ответ: Четыре прямые, параллельные линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.