Номер 16, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Площадь ортогональной проекции многоугольника

1. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с гипотенузой $10 \text{ см}$ и катетом $8 \text{ см}$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $24\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2. Треугольник $A_1B_1C_1$ — ортогональная проекция треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $A_2B_2C_2$ — ортогональная проекция треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Найдите площадь треугольника $A_1B_1C_1$, если площади треугольников $ABC$ и $A_2B_2C_2$ соответственно равны $36 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$.

3. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, сторона которого равна $6 \text{ см}$, ребро $AA_1$ равно $8 \text{ см}$. На рёбрах $AB$ и $AD$ отметили точки $K$ и $M$ соответственно так, что $AK = AM = 2 \text{ см}$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $KMC_1$.

1.
Площадь ортогональной проекции фигуры ($S_{пр}$) связана с площадью исходной фигуры ($S$) и углом $\varphi$ между их плоскостями соотношением: $S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$.
В данной задаче $\triangle A_1B_1C_1$ является проекцией $\triangle ABC$. Следовательно, $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\varphi)$. Чтобы найти угол $\varphi$, нам нужно знать обе площади.
Площадь $\triangle ABC$ дана: $S_{ABC} = 24\sqrt{2}$ см².
Площадь проекции, $\triangle A_1B_1C_1$, можно вычислить, так как он прямоугольный и известны его гипотенуза и один из катетов.
Пусть катеты $\triangle A_1B_1C_1$ равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Дано $c = 10$ см, $a = 8$ см.
По теореме Пифагора найдем второй катет $b$:
$a^2 + b^2 = c^2$
$8^2 + b^2 = 10^2$
$64 + b^2 = 100$
$b^2 = 100 - 64 = 36$
$b = \sqrt{36} = 6$ см.
Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$:
$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².
Теперь мы можем найти косинус угла между плоскостями:
$\cos(\varphi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{24}{24\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2.
Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, $S_{A_1B_1C_1}$ — площадь треугольника $A_1B_1C_1$, а $S_{A_2B_2C_2}$ — площадь треугольника $A_2B_2C_2$.
Пусть $\varphi$ — угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$, на которую проецируется треугольник $ABC$.
По условию, $\triangle A_1B_1C_1$ является ортогональной проекцией $\triangle ABC$ на плоскость $\alpha$. Значит, их площади связаны соотношением:
$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\varphi)$ (1)
Также по условию, $\triangle A_2B_2C_2$ является ортогональной проекцией $\triangle A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Угол между плоскостью $\alpha$ (в которой лежит $\triangle A_1B_1C_1$) и плоскостью $ABC$ тот же самый, то есть $\varphi$. Следовательно:
$S_{A_2B_2C_2} = S_{A_1B_1C_1} \cdot \cos(\varphi)$ (2)
Нам даны $S_{ABC} = 36$ см² и $S_{A_2B_2C_2} = 12$ см². Подставим эти значения в уравнения:
1) $S_{A_1B_1C_1} = 36 \cdot \cos(\varphi)$
2) $12 = S_{A_1B_1C_1} \cdot \cos(\varphi)$
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $S_{A_1B_1C_1}$ и $\cos(\varphi)$.
Из первого уравнения выразим $\cos(\varphi)$: $\cos(\varphi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{36}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$12 = S_{A_1B_1C_1} \cdot \left(\frac{S_{A_1B_1C_1}}{36}\right)$
$12 \cdot 36 = (S_{A_1B_1C_1})^2$
$(S_{A_1B_1C_1})^2 = 432$
$S_{A_1B_1C_1} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ см².
Ответ: $12\sqrt{3}$ см².

3.
1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.
В этой системе координат: - Сторона основания $AB=AD=6$. - Высота $AA_1=8$. - Координаты данных точек: $K$ на $AB$ с $AK=2 \implies K(2,0,0)$.
$M$ на $AD$ с $AM=2 \implies M(0,2,0)$.
$C_1$ — вершина, противоположная $A$, в верхнем основании. Ее координаты $C_1(6,6,8)$.
2. Найдем уравнение плоскости сечения, проходящей через точки $K$, $M$ и $C_1$. Уравнение плоскости в общем виде: $ax+by+cz+d=0$. Подставим координаты точек в уравнение: - Для $K(2,0,0): 2a+d=0 \implies a=-d/2$. - Для $M(0,2,0): 2b+d=0 \implies b=-d/2$. - Для $C_1(6,6,8): 6a+6b+8c+d=0$. Подставим $a$ и $b$ в третье уравнение: $6(-d/2) + 6(-d/2) + 8c + d = 0 \implies -3d - 3d + 8c + d = 0 \implies -5d+8c=0 \implies c=5d/8$. Выберем $d=-8$, тогда $a=4, b=4, c=-5$. Уравнение плоскости: $4x+4y-5z-8=0$. Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}=(4, 4, -5)$.
3. Площадь сечения $S$ можно найти, используя площадь его ортогональной проекции на одну из координатных плоскостей. Проецируем сечение на плоскость основания $Oxy$.
Площадь проекции $S_{xy}$ связана с площадью сечения $S$ формулой $S_{xy} = S \cdot |\cos(\varphi)|$, где $\varphi$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью $Oxy$. Косинус этого угла равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами.
Нормальный вектор плоскости $Oxy$ (задается уравнением $z=0$) — это $\vec{k}=(0,0,1)$. $|\cos(\varphi)| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|(4,4,-5)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{4^2+4^2+(-5)^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{16+16+25} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{57}}$.
4. Проекцией сечения на плоскость $Oxy$ является пятиугольник $KBCDM$. Его площадь $S_{xy}$ можно найти как разность площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $AKM$. $S_{ABCD} = 6 \cdot 6 = 36$ см².
$S_{\triangle AKM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см².
$S_{xy} = S_{ABCD} - S_{\triangle AKM} = 36 - 2 = 34$ см².
5. Теперь найдем площадь сечения $S$:
$S = \frac{S_{xy}}{|\cos(\varphi)|} = \frac{34}{5/\sqrt{57}} = \frac{34\sqrt{57}}{5}$ см².
Ответ: $\frac{34\sqrt{57}}{5}$ см².