Номер 9, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

1. Отрезки $AK$ и $B_1D$ соответственно — высоты граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $AK$ и $B_1D$, если $\angle ACB = 50^\circ$.

2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = BC = \sqrt{2}$ см, $AA_1 = \sqrt{7}$ см. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DC_1$.

3. Рёбра $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ равны $6\sqrt{3}$ см и $4$ см соответственно, а угол между прямыми $AD$ и $BC$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $BD$.

1. Угол между скрещивающимися прямыми $AK$ и $B_1D$ равен углу между прямой $AK$ и прямой, параллельной $B_1D$ и пересекающей $AK$.
Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ – призма, то грань $A_1B_1C_1$ параллельна грани $ABC$. Мы можем выполнить параллельный перенос прямой $B_1D$ на вектор $\vec{B_1B}$. При этом прямая $B_1D$ перейдет в прямую $BM$, лежащую в плоскости $ABC$.
Так как $B_1D$ является высотой в $\triangle A_1B_1C_1$, проведенной к стороне $A_1C_1$ ($B_1D \perp A_1C_1$), то и ее образ $BM$ будет высотой в $\triangle ABC$, проведенной к стороне $AC$ ($BM \perp AC$).
Задача сводится к нахождению угла между двумя высотами $AK$ (к стороне $BC$) и $BM$ (к стороне $AC$) в треугольнике $ABC$.
Пусть высоты $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $H$. Рассмотрим четырехугольник $CKHM$. В нем $\angle H K C = 90^\circ$ и $\angle H M C = 90^\circ$, так как $AK$ и $BM$ – высоты.
Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для $CKHM$ имеем:
$\angle KCM + \angle CMH + \angle MHK + \angle HKC = 360^\circ$
$\angle C + 90^\circ + \angle MHK + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle MHK = 180^\circ - \angle C$
Угол $\angle MHK$ и смежный с ним угол $\angle AHM$ являются углами между прямыми $AK$ и $BM$. Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому он равен меньшему из двух смежных углов.
Дан $\angle C = \angle ACB = 50^\circ$.
Один из углов между высотами равен $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
Второй (смежный) угол равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Острый угол между высотами равен $50^\circ$.
Ответ: $50^\circ$.

2. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DC_1$ воспользуемся методом координат.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.
По условию $AB=BC=\sqrt{2}$ см, значит основание $ABCD$ – квадрат со стороной $\sqrt{2}$ см, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямоугольный параллелепипед. Следовательно, $AD=DC=\sqrt{2}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = DD_1 = \sqrt{7}$ см.
Найдем координаты нужных точек:
$A(\sqrt{2}, 0, 0)$
$C(0, \sqrt{2}, 0)$
$D(0, 0, 0)$
$C_1(0, \sqrt{2}, \sqrt{7})$
Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AC$ и $DC_1$:
$\vec{AC} = \{0-\sqrt{2}; \sqrt{2}-0; 0-0\} = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 0\}$
$\vec{DC_1} = \{0-0; \sqrt{2}-0; \sqrt{7}-0\} = \{0; \sqrt{2}; \sqrt{7}\}$
Косинус угла $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{DC_1}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}|}$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{DC_1} = (-\sqrt{2}) \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot \sqrt{7} = 0 + 2 + 0 = 2$
Найдем длины векторов:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2+2+0} = \sqrt{4} = 2$
$|\vec{DC_1}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{0+2+7} = \sqrt{9} = 3$
Теперь вычислим косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{|2|}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.

3. Пусть $M$ – середина ребра $AC$, а $N$ – середина ребра $BD$. Требуется найти длину отрезка $MN$.
Рассмотрим вспомогательную точку $P$ – середину ребра $CD$.
В треугольнике $ACD$ отрезок $MP$ является средней линией. Следовательно, $MP$ параллельна $AD$ и равна половине ее длины:
$MP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.
В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ является средней линией. Следовательно, $NP$ параллельна $BC$ и равна половине ее длины:
$NP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
Рассмотрим треугольник $MNP$. Длина стороны $MN$ может быть найдена по теореме косинусов:
$MN^2 = MP^2 + NP^2 - 2 \cdot MP \cdot NP \cdot \cos(\angle MPN)$
Поскольку $MP \parallel AD$ и $NP \parallel BC$, угол между прямыми $MP$ и $NP$ равен углу между прямыми $AD$ и $BC$, который по условию составляет $30^\circ$. Угол $\angle MPN$ в треугольнике может быть равен $30^\circ$ или $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$, в зависимости от взаимного расположения ребер тетраэдра, которое не определено условиями задачи однозначно. Поэтому задача имеет два возможных решения.
Случай 1: $\angle MPN = 30^\circ$.
$MN^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)$
$MN^2 = 27 + 4 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 31 - 12 \cdot \frac{3}{2} = 31 - 18 = 13$
$MN = \sqrt{13}$ см.
Случай 2: $\angle MPN = 150^\circ$.
$MN^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$
$MN^2 = 27 + 4 - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 31 + 12 \cdot \frac{3}{2} = 31 + 18 = 49$
$MN = 7$ см.
Ответ: $\sqrt{13}$ см или 7 см.