Номер 3, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 1). Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$, точка $K$ — ребру $CC_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MDK$.

Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 2) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рёбрам $SA$, $AC$ и $SB$ соответственно.

Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3) плоскостью, проходящей через вершины $B$ и $C$ и точку $F$, принадлежащую грани $AA_1D_1D$.

1.

Требуется построить прямую, по которой пересекаются плоскости $A_1B_1C_1$ и $MDK$. Прямая определяется двумя точками, поэтому для ее построения достаточно найти две общие точки этих двух плоскостей.

Построение:

1. Найдем первую общую точку. Точки $M$ и $D$ лежат в плоскости $MDK$. Также они лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$ (точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, точка $D$ является вершиной этой грани). Следовательно, прямая $MD$ лежит в плоскости $AA_1D_1D$. Прямая $A_1D_1$ также лежит в этой плоскости. Продлим отрезки $MD$ и $A_1D_1$ до их пересечения в точке $E$.
   • Так как точка $E$ лежит на прямой $MD$, она принадлежит плоскости $MDK$.
   • Так как точка $E$ лежит на прямой $A_1D_1$, она принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
   Следовательно, точка $E$ — одна из точек искомой прямой пересечения.
2. Найдем вторую общую точку. Точки $K$ и $D$ лежат в плоскости $MDK$. Также они лежат в плоскости боковой грани $CC_1D_1D$ (точка $K$ лежит на ребре $CC_1$, точка $D$ является вершиной этой грани). Следовательно, прямая $KD$ лежит в плоскости $CC_1D_1D$. Прямая $C_1D_1$ также лежит в этой плоскости. Продлим отрезки $KD$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $F$.
   • Так как точка $F$ лежит на прямой $KD$, она принадлежит плоскости $MDK$.
   • Так как точка $F$ лежит на прямой $C_1D_1$, она принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
   Следовательно, точка $F$ — вторая точка искомой прямой пересечения.
3. Проведем прямую через точки $E$ и $F$. Прямая $EF$ является искомой прямой пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MDK$.

Ответ: Искомая прямая пересечения проходит через точку $E=MD \cap A_1D_1$ и точку $F=KD \cap C_1D_1$.

2.

Требуется построить сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$. Сечение представляет собой многоугольник, стороны которого являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.

Построение:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, а значит, обе лежат в плоскости грани $SAB$. Соединяем их отрезком $MK$. Это одна из сторон сечения.
2. Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $SA$ и $AC$ соответственно, а значит, обе лежат в плоскости грани $SAC$. Соединяем их отрезком $MP$. Это вторая сторона сечения.
3. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем след (линию пересечения) секущей плоскости $MPK$ на плоскости основания $ABC$. Точка $P$ уже лежит в плоскости основания. Найдем еще одну точку.
4. Прямая $MK$ лежит в секущей плоскости $MPK$ и в плоскости грани $SAB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABC$ и в плоскости грани $SAB$. Так как обе прямые ($MK$ и $AB$) лежат в одной плоскости $SAB$, найдем их точку пересечения. Продлим отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения в точке $E$.
   • Так как $E$ лежит на прямой $MK$, то $E$ принадлежит секущей плоскости $MPK$.
   • Так как $E$ лежит на прямой $AB$, то $E$ принадлежит плоскости основания $ABC$.
   Следовательно, точка $E$ принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания.
5. Проведем прямую через точки $E$ и $P$. Прямая $EP$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABC$. Эта прямая пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Точка $L$ является вершиной сечения.
6. Соединим точку $L$ на ребре $BC$ с точкой $K$ на ребре $SB$. Обе точки лежат в плоскости грани $SBC$, поэтому отрезок $KL$ является стороной сечения.
7. Соединив последовательно точки $M, P, L, K$, получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MPLK$.

3.

Требуется построить сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B$, $C$ и точку $F$, принадлежащую грани $AA_1D_1D$.

Построение:

1. Вершины $B$ и $C$ призмы лежат в секущей плоскости, поэтому ребро $BC$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Для дальнейшего построения воспользуемся методом следов. Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Прямая $BC$ (лежащая в секущей плоскости) и прямая $AD$ лежат в одной плоскости $ABCD$. Продлим их до пересечения в точке $E$. (Если $BC || AD$, то построение будет другим, см. примечание).
3. Точка $E$ принадлежит прямой $BC$, а значит, и секущей плоскости $BCF$.
4. Точка $E$ принадлежит прямой $AD$, а значит, и плоскости грани $AA_1D_1D$.
5. Таким образом, мы имеем две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости грани $AA_1D_1D$: это точка $F$ (по условию) и точка $E$ (по построению). Следовательно, прямая $EF$ является линией пересечения этих двух плоскостей (следом секущей плоскости на плоскости грани $AA_1D_1D$).
6. Проведем прямую $EF$. Эта прямая пересекает ребра боковой грани $AA_1D_1D$.
   • Точку пересечения прямой $EF$ с ребром $AA_1$ обозначим $H$.
   • Точку пересечения прямой $EF$ с ребром $DD_1$ обозначим $G$.
   Точки $H$ и $G$ являются вершинами искомого сечения.
7. Соединяем последовательно полученные вершины: $B$, $C$, $G$, $H$.
   • $BC$ — сторона сечения в нижней грани.
   • $CG$ — сторона сечения в грани $CDD_1C_1$.
   • $GH$ — сторона сечения в грани $ADD_1A_1$.
   • $HB$ — сторона сечения в грани $ABB_1A_1$.

Примечание: Если основания призмы — трапеции с параллельными сторонами $BC$ и $AD$, то прямая $BC$ параллельна плоскости грани $AA_1D_1D$. В этом случае линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$ будет проходить через точку $F$ параллельно прямой $BC$. Тогда точки $G$ и $H$ находятся как пересечения этой прямой с ребрами $DD_1$ и $AA_1$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $BCGH$.