Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 1). Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$, точка $K$ — ребру $CC_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MDK$.

Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 2) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рёбрам $SA$, $AC$ и $SB$ соответственно.

Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3) плоскостью, проходящей через вершины $B$ и $C$ и точку $F$, принадлежащую грани $AA_1D_1D$.

1.

Требуется построить прямую, по которой пересекаются плоскости $A_1B_1C_1$ и $MDK$. Прямая определяется двумя точками, поэтому для ее построения достаточно найти две общие точки этих двух плоскостей.

Построение:

1. Найдем первую общую точку. Точки $M$ и $D$ лежат в плоскости $MDK$. Также они лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$ (точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, точка $D$ является вершиной этой грани). Следовательно, прямая $MD$ лежит в плоскости $AA_1D_1D$. Прямая $A_1D_1$ также лежит в этой плоскости. Продлим отрезки $MD$ и $A_1D_1$ до их пересечения в точке $E$.
   • Так как точка $E$ лежит на прямой $MD$, она принадлежит плоскости $MDK$.
   • Так как точка $E$ лежит на прямой $A_1D_1$, она принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
   Следовательно, точка $E$ — одна из точек искомой прямой пересечения.
2. Найдем вторую общую точку. Точки $K$ и $D$ лежат в плоскости $MDK$. Также они лежат в плоскости боковой грани $CC_1D_1D$ (точка $K$ лежит на ребре $CC_1$, точка $D$ является вершиной этой грани). Следовательно, прямая $KD$ лежит в плоскости $CC_1D_1D$. Прямая $C_1D_1$ также лежит в этой плоскости. Продлим отрезки $KD$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $F$.
   • Так как точка $F$ лежит на прямой $KD$, она принадлежит плоскости $MDK$.
   • Так как точка $F$ лежит на прямой $C_1D_1$, она принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
   Следовательно, точка $F$ — вторая точка искомой прямой пересечения.
3. Проведем прямую через точки $E$ и $F$. Прямая $EF$ является искомой прямой пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MDK$.

Ответ: Искомая прямая пересечения проходит через точку $E=MD \cap A_1D_1$ и точку $F=KD \cap C_1D_1$.

2.

Требуется построить сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$. Сечение представляет собой многоугольник, стороны которого являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.

Построение:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, а значит, обе лежат в плоскости грани $SAB$. Соединяем их отрезком $MK$. Это одна из сторон сечения.
2. Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $SA$ и $AC$ соответственно, а значит, обе лежат в плоскости грани $SAC$. Соединяем их отрезком $MP$. Это вторая сторона сечения.
3. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем след (линию пересечения) секущей плоскости $MPK$ на плоскости основания $ABC$. Точка $P$ уже лежит в плоскости основания. Найдем еще одну точку.
4. Прямая $MK$ лежит в секущей плоскости $MPK$ и в плоскости грани $SAB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABC$ и в плоскости грани $SAB$. Так как обе прямые ($MK$ и $AB$) лежат в одной плоскости $SAB$, найдем их точку пересечения. Продлим отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения в точке $E$.
   • Так как $E$ лежит на прямой $MK$, то $E$ принадлежит секущей плоскости $MPK$.
   • Так как $E$ лежит на прямой $AB$, то $E$ принадлежит плоскости основания $ABC$.
   Следовательно, точка $E$ принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания.
5. Проведем прямую через точки $E$ и $P$. Прямая $EP$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABC$. Эта прямая пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Точка $L$ является вершиной сечения.
6. Соединим точку $L$ на ребре $BC$ с точкой $K$ на ребре $SB$. Обе точки лежат в плоскости грани $SBC$, поэтому отрезок $KL$ является стороной сечения.
7. Соединив последовательно точки $M, P, L, K$, получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MPLK$.

3.

Требуется построить сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B$, $C$ и точку $F$, принадлежащую грани $AA_1D_1D$.

Построение:

1. Вершины $B$ и $C$ призмы лежат в секущей плоскости, поэтому ребро $BC$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Для дальнейшего построения воспользуемся методом следов. Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Прямая $BC$ (лежащая в секущей плоскости) и прямая $AD$ лежат в одной плоскости $ABCD$. Продлим их до пересечения в точке $E$. (Если $BC || AD$, то построение будет другим, см. примечание).
3. Точка $E$ принадлежит прямой $BC$, а значит, и секущей плоскости $BCF$.
4. Точка $E$ принадлежит прямой $AD$, а значит, и плоскости грани $AA_1D_1D$.
5. Таким образом, мы имеем две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости грани $AA_1D_1D$: это точка $F$ (по условию) и точка $E$ (по построению). Следовательно, прямая $EF$ является линией пересечения этих двух плоскостей (следом секущей плоскости на плоскости грани $AA_1D_1D$).
6. Проведем прямую $EF$. Эта прямая пересекает ребра боковой грани $AA_1D_1D$.
   • Точку пересечения прямой $EF$ с ребром $AA_1$ обозначим $H$.
   • Точку пересечения прямой $EF$ с ребром $DD_1$ обозначим $G$.
   Точки $H$ и $G$ являются вершинами искомого сечения.
7. Соединяем последовательно полученные вершины: $B$, $C$, $G$, $H$.
   • $BC$ — сторона сечения в нижней грани.
   • $CG$ — сторона сечения в грани $CDD_1C_1$.
   • $GH$ — сторона сечения в грани $ADD_1A_1$.
   • $HB$ — сторона сечения в грани $ABB_1A_1$.

Примечание: Если основания призмы — трапеции с параллельными сторонами $BC$ и $AD$, то прямая $BC$ параллельна плоскости грани $AA_1D_1D$. В этом случае линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$ будет проходить через точку $F$ параллельно прямой $BC$. Тогда точки $G$ и $H$ находятся как пересечения этой прямой с ребрами $DD_1$ и $AA_1$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $BCGH$.

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости $ABC$, а через точку $C$ — прямая $b$, параллельная прямой $BD$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $AB$, который не пересекает плоскость $\alpha$, отметили точку $C$. Через точки $A$, $B$ и $C$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AC = 7 \text{ см}$, $BC = 21 \text{ см}$, $A_1C_1 = 12 \text{ см}$.

3. Точка $K$ принадлежит грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4). Через точку $K$ провели прямую, параллельную прямой $DC_1$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $BB_1C$.

Рис. 4

1. Для доказательства того, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Рассмотрим плоскость параллелограмма $(ABC)$.

2. Прямая $b$ проходит через вершину $C$, которая принадлежит плоскости $(ABC)$. Также по условию прямая $b$ параллельна диагонали $BD$, которая также лежит в плоскости $(ABC)$. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости... Нет, здесь другая теорема: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. В нашем случае, так как прямая $b$ проходит через точку $C$ плоскости $(ABC)$ и параллельна прямой $BD$ из той же плоскости, то прямая $b$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Прямая $a$ по условию проходит через вершину $A$, которая принадлежит плоскости $(ABC)$, но сама прямая $a$ не принадлежит этой плоскости. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке $A$.

4. Точка пересечения прямой $a$ с плоскостью $(ABC)$ — это точка $A$. Точка $A$ не лежит на прямой $b$, так как прямая $b$ проходит через точку $C$, а $A$ и $C$ — разные вершины параллелограмма.

5. Таким образом, мы имеем: прямая $b$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $a$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $b$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, что и требовалось доказать.

2.

1) По условию, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Две параллельные прямые в пространстве определяют единственную плоскость. Возьмем прямые $AA_1$ и $BB_1$. Они задают некоторую плоскость $\beta$.
Точки $A$ и $B$ лежат на этих прямых, следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$.
Точка $C$ по условию принадлежит отрезку $AB$, значит, точка $C$ также лежит в плоскости $\beta$.
Прямая $CC_1$ проходит через точку $C$ плоскости $\beta$ и параллельна прямой $AA_1$ (которая лежит в плоскости $\beta$). Следовательно, прямая $CC_1$ также лежит в плоскости $\beta$.
Таким образом, все три параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.
Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются точками пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ с плоскостью $\alpha$. Поскольку все эти прямые лежат в плоскости $\beta$, их точки пересечения с плоскостью $\alpha$ должны лежать на линии пересечения этих двух плоскостей.
Следовательно, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

2) Согласно теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), параллельные прямые, пересекающие две стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. В нашем случае параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекают прямые $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно, отношение отрезков на прямой $AB$ равно отношению соответствующих отрезков на прямой $A_1B_1$:
$\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}$
Подставим известные значения: $AC = 7$ см, $BC = 21$ см, $A_1C_1 = 12$ см.
$\frac{7}{21} = \frac{12}{B_1C_1}$
$\frac{1}{3} = \frac{12}{B_1C_1}$
Отсюда находим $B_1C_1$:
$B_1C_1 = 12 \cdot 3 = 36$ см.

Ответ: $B_1C_1 = 36$ см.

3. Пусть прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $DC_1$, называется $k$. Нам нужно построить точку пересечения прямой $k$ с плоскостью грани $BB_1C_1C$, которую обозначим $(BB_1C)$.

Построение:

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ грани $DC_1$ параллельна диагонали грани $AB_1$. Это следует из того, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом (векторы $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$ и $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$; так как $\vec{DC}=\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}=\vec{BB_1}$, то $\vec{DC_1} = \vec{AB_1}$). Следовательно, искомая прямая $k$ также параллельна прямой $AB_1$ ($k \parallel AB_1$).

2. Для нахождения точки пересечения прямой $k$ с плоскостью $(BB_1C)$ построим вспомогательную плоскость $\gamma$, которая содержит прямую $k$. Так как $k$ проходит через точку $K$ и $k \parallel AB_1$, в качестве $\gamma$ удобно взять плоскость, проходящую через точку $K$ и прямую $AB_1$. Обозначим эту плоскость $(AB_1K)$.

3. Найдем линию пересечения плоскости $(AB_1K)$ и плоскости $(BB_1C)$.

• Точка $B_1$ принадлежит обеим плоскостям, так как $B_1 \in AB_1 \subset (AB_1K)$ и $B_1 \in (BB_1C)$.
• Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим пересечение этих плоскостей с плоскостью основания $(ABCD)$. Плоскость $(AB_1K)$ пересекает $(ABCD)$ по прямой $AK$. Плоскость $(BB_1C)$ пересекает $(ABCD)$ по прямой $BC$.
• Проведем в плоскости основания прямую $AK$ до пересечения с прямой $BC$. Обозначим точку их пересечения $M$. Точка $M$ принадлежит обеим плоскостям $(AB_1K)$ и $(BB_1C)$.
• Следовательно, линия пересечения плоскостей $(AB_1K)$ и $(BB_1C)$ — это прямая $MB_1$.

4. Искомая точка пересечения прямой $k$ с плоскостью $(BB_1C)$ должна лежать как на прямой $k$, так и в плоскости $(BB_1C)$. Поскольку прямая $k$ лежит во вспомогательной плоскости $(AB_1K)$, то точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(AB_1K)$ и $(BB_1C)$, то есть на прямой $MB_1$.

5. Таким образом, искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $k$ и $MB_1$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(AB_1K)$, поэтому они пересекаются (если не параллельны, что в общем случае не так).

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания $(ABCD)$ проводим прямую через точки $A$ и $K$.
2. Находим точку $M$ как пересечение прямых $AK$ и $BC$.
3. Соединяем точки $M$ и $B_1$, получаем прямую $MB_1$.
4. Через точку $K$ проводим прямую $k$ параллельно $AB_1$.
5. Точка $P$, в которой прямая $k$ пересекает прямую $MB_1$, является искомой точкой пересечения.

Ответ: Искомая точка пересечения построена в соответствии с описанным алгоритмом.