Страница 8 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Изображения плоских и пространственных фигур

1. На рисунке 9 точки $B_1$, $C_1$, $C$ — вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $M$ — середина ребра $DD_1$. Постройте изображение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Окружность касается сторон угла $AOB$ в точках $A$ и $B$. Прямая $a$, лежащая в плоскости $AOB$, перпендикулярна прямой $AB$ и проходит через точку $M$. На рисунке 10 точки $A_1$, $O_1$, $B_1$ и $M_1$ — изображения точек $A$, $O$, $B$ и $M$ соответственно. Постройте изображение прямой $a$.

3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) сторона $AB$ равна $15$ см, а высота $BD$ — $10\sqrt{2}$ см. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMFK$ так, что точки $M$, $F$ и $K$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. На рисунке 11 треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$. Постройте изображение ромба $AMFK$.

1.

Для построения изображения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по заданным точкам $B_1, C_1, C$ и $M$ (середина $DD_1$) выполним следующие шаги, основанные на свойствах параллельной проекции, при которой параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллельных прямых сохраняются.

Обоснование построения:
Пусть $P$ — середина ребра $CC_1$. Векторно это можно записать как $\vec{p} = (\vec{c} + \vec{c_1})/2$. Точка $M$ — середина ребра $DD_1$, т.е. $\vec{m} = (\vec{d} + \vec{d_1})/2$. Вершины куба связаны соотношениями: $\vec{d} = \vec{c} + \vec{CD}$ и $\vec{d_1} = \vec{c_1} + \vec{C_1D_1}$. Поскольку $CDD_1C_1$ — грань куба, то $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$. Обозначим этот вектор как $\vec{x}$. Тогда $\vec{m} = \frac{(\vec{c} + \vec{x}) + (\vec{c_1} + \vec{x})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2} + \vec{x} = \vec{p} + \vec{x}$. Отсюда следует, что $\vec{x} = \vec{m} - \vec{p} = \vec{PM}$. Таким образом, изображение ребра $C_1D_1$ (и параллельных ему рёбер $B_1A_1, CD, BA$) представимо вектором $\vec{PM}$, где $P$ — середина отрезка $C_1C$.

Построение:

1. Найдём точку $P$ — середину отрезка $C_1C$.
2. Построим вектор $\vec{PM}$.
3. От точки $C_1$ отложим вектор, равный $\vec{PM}$, и получим вершину $D_1$.
4. От точки $B_1$ отложим вектор, равный $\vec{PM}$, и получим вершину $A_1$ (так как $\vec{B_1A_1} = \vec{C_1D_1}$).
5. Соединим точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, получив изображение верхней грани куба.
6. Так как боковые рёбра куба параллельны и равны, вектор $\vec{C_1C}$ задаёт их изображение. Отложим этот вектор от точек $A_1, B_1, D_1$, чтобы найти их проекции на нижнее основание — точки $A, B, D$ соответственно.
7. Соединим все восемь вершин, чтобы получить изображение куба. Рёбра $AD, DC$ и $DD_1$, которые, скорее всего, будут невидимыми, изобразим пунктирными линиями.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам. Итоговое изображение представляет собой шестигранник, являющийся параллельной проекцией куба, где положение вершин определено с использованием точки $M$.

2.

Обоснование построения:
В исходной плоскости $AOB$ окружность касается сторон угла $OA$ и $OB$ в точках $A$ и $B$. Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, следует, что $OA = OB$. Таким образом, треугольник $AOB$ является равнобедренным. Пусть $H$ — середина основания $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ медиана $OH$, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, прямая $OH$ перпендикулярна прямой $AB$. По условию задачи, прямая $a$ лежит в той же плоскости $AOB$ и также перпендикулярна прямой $AB$. Две прямые ($a$ и $OH$), перпендикулярные третьей прямой ($AB$) в одной плоскости, параллельны между собой. То есть, $a \parallel OH$. При параллельном проецировании параллельность прямых сохраняется. Значит, изображение прямой $a$ (обозначим его $a_1$) должно быть параллельно изображению прямой $OH$. Изображением прямой $OH$ является прямая, проходящая через изображения точек $O$ и $H$ — точки $O_1$ и $H_1$. Так как при параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину отрезка-изображения, точка $H_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$. Прямая $a$ проходит через точку $M$, следовательно, её изображение $a_1$ должно проходить через изображение $M_1$.

Построение:

1. Соединим точки $A_1$ и $B_1$, получив отрезок $A_1B_1$.
2. Найдём точку $H_1$ — середину отрезка $A_1B_1$.
3. Проведём прямую через точки $O_1$ и $H_1$. Эта прямая является изображением прямой $OH$.
4. Через заданную точку $M_1$ проведём прямую $a_1$, параллельную прямой $O_1H_1$.

Ответ: Прямая $a_1$, проходящая через точку $M_1$ параллельно прямой $O_1H_1$ (где $H_1$ - середина $A_1B_1$), является искомым изображением прямой $a$.

3.

Для построения изображения ромба $AMFK$ необходимо сначала найти положение его вершин $M, F, K$ на сторонах треугольника $ABC$, а затем, используя свойство сохранения отношения длин отрезков на прямой при параллельной проекции, построить их изображения $M_1, F_1, K_1$ на сторонах треугольника $A_1B_1C_1$.

Расчёты:

1. Найдём длину основания $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BD$ является и медианой, поэтому $D$ — середина $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора: $AD^2 + BD^2 = AB^2$.
   $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{15^2 - (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 - 200} = \sqrt{25} = 5$ см.
   Следовательно, $AC = 2 \cdot AD = 10$ см.
2. Пусть сторона ромба $AMFK$ равна $x$. Тогда $AM = MF = FK = KA = x$. Вершина $M$ лежит на $AB$, $F$ — на $BC$, $K$ — на $AC$. Так как $AMFK$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, $MF \parallel AK$, а так как $K$ лежит на $AC$, то $MF \parallel AC$.
3. Из параллельности $MF \parallel AC$ следует, что треугольник $MBF$ подобен треугольнику $ABC$. Из подобия имеем отношение сторон: $\frac{MB}{AB} = \frac{MF}{AC}$.
   Мы знаем, что $MB = AB - AM = 15 - x$, $AB = 15$, $MF = x$, $AC = 10$.
   Подставляем значения в пропорцию: $\frac{15-x}{15} = \frac{x}{10}$.
4. Решаем уравнение: $10(15-x) = 15x \implies 150 - 10x = 15x \implies 150 = 25x \implies x=6$ см.
5. Теперь найдём, в каком отношении вершины ромба делят стороны треугольника $ABC$:
   • Точка $M$ на $AB$: $AM = x = 6$. Отношение $\frac{AM}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
   • Точка $K$ на $AC$: $AK = x = 6$. Отношение $\frac{AK}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
   • Точка $F$ на $BC$: Так как $FK \parallel AB$, то $\triangle FKC \sim \triangle ABC$. Отсюда $\frac{CF}{CB} = \frac{FK}{AB} = \frac{x}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$. Значит, $CF = \frac{2}{5} CB = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6$. Тогда $BF = BC - CF = 15 - 6 = 9$. Отношение $\frac{BF}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Построение на изображении $A_1B_1C_1$:

1. На стороне $A_1B_1$ строим точку $M_1$ так, чтобы выполнялось отношение $\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{2}{5}$. Для этого можно разделить отрезок $A_1B_1$ на 5 равных частей и взять вторую точку от $A_1$.
2. На стороне $A_1C_1$ строим точку $K_1$ так, чтобы выполнялось отношение $\frac{A_1K_1}{A_1C_1} = \frac{3}{5}$. Для этого делим отрезок $A_1C_1$ на 5 равных частей и берём третью точку от $A_1$.
3. На стороне $B_1C_1$ строим точку $F_1$ так, чтобы выполнялось отношение $\frac{B_1F_1}{B_1C_1} = \frac{3}{5}$. Для этого делим отрезок $B_1C_1$ на 5 равных частей и берём третью точку от $B_1$.
4. Соединяем последовательно точки $A_1, M_1, F_1, K_1$. Полученный четырёхугольник $A_1M_1F_1K_1$ (который будет параллелограммом) и является искомым изображением ромба.

Ответ: Изображение ромба $A_1M_1F_1K_1$ строится на изображении треугольника $A_1B_1C_1$ путём нахождения точек $M_1, F_1, K_1$ на его сторонах в отношениях $A_1M_1:A_1B_1=2:5$, $A_1K_1:A_1C_1=3:5$ и $B_1F_1:B_1C_1=3:5$.