Страница 14 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 16 см и 10 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна $4\sqrt{10}$ см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 6 см$^2$ и 8 см$^2$.

1. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$, а его диагональ как $d$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Согласно условию задачи, диагональ $d$ больше измерений на 10 см, 9 см и 1 см. Это можно записать в виде системы уравнений:
$d = a + 10$
$d = b + 9$
$d = c + 1$
Выразим измерения $a$, $b$ и $c$ через $d$:
$a = d - 10$
$b = d - 9$
$c = d - 1$
Подставим эти выражения в формулу для квадрата диагонали:
$d^2 = (d - 10)^2 + (d - 9)^2 + (d - 1)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 2d + 1)$
Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$d^2 = 3d^2 - 40d + 182$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2d^2 - 40d + 182 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$d^2 - 20d + 91 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 20, а их произведение равно 91. Легко подобрать корни: $d_1 = 7$ и $d_2 = 13$.
Теперь необходимо проверить, какой из корней является решением задачи. Измерения параллелепипеда должны быть положительными числами.
Если $d = 7$, то измерение $a = d - 10 = 7 - 10 = -3$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.
Если $d = 13$, то измерения равны:
$a = 13 - 10 = 3$ см
$b = 13 - 9 = 4$ см
$c = 13 - 1 = 12$ см
Все измерения положительны, значит, это решение верное.
Ответ: 13 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 16$ см и $b = 10$ см, и острым углом $\alpha = 60^{\circ}$. Высота параллелепипеда $h = 4\sqrt{10}$ см. Большая диагональ параллелепипеда соответствует большей диагонали основания.
Сначала найдем диагонали основания параллелограмма ($d_1$ и $d_2$) с помощью теоремы косинусов. Тупой угол параллелограмма равен $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Квадрат меньшей диагонали ($d_1$), лежащей напротив острого угла:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^{\circ}) = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 256 + 100 - 160 = 196$.
Квадрат большей диагонали ($d_2$), лежащей напротив тупого угла:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^{\circ}) = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = 256 + 100 + 160 = 516$.
Квадрат диагонали ($D$) прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания ($d$) и квадрата высоты ($h$): $D^2 = d^2 + h^2$.
Чтобы найти большую диагональ параллелепипеда ($D_{большая}$), используем большую диагональ основания ($d_2$):
$D_{большая}^2 = d_2^2 + h^2 = 516 + (4\sqrt{10})^2 = 516 + 16 \cdot 10 = 516 + 160 = 676$.
Теперь найдем длину большей диагонали:
$D_{большая} = \sqrt{676} = 26$ см.
Ответ: 26 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ – периметр основания, а $h$ – высота. Периметр ромба со стороной $a$ равен $P = 4a$, следовательно, $S_{бок} = 4ah$.
Диагональные сечения прямого параллелепипеда – это прямоугольники. Их стороны – это диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота параллелепипеда ($h$). Площади этих сечений равны:
$S_1 = d_1 \cdot h = 6$ см$^2$
$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см$^2$
Сторона ромба $a$ связана с его диагоналями $d_1$ и $d_2$ по теореме Пифагора, так как диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ и гипотенузой $a$:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \implies 4a^2 = d_1^2 + d_2^2$.
Из выражений для площадей сечений выразим $d_1$ и $d_2$:
$d_1 = \frac{6}{h}$
$d_2 = \frac{8}{h}$
Подставим эти выражения в формулу, связывающую сторону и диагонали ромба:
$4a^2 = (\frac{6}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2 = \frac{36}{h^2} + \frac{64}{h^2} = \frac{100}{h^2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $a$ и $h$ - положительные величины):
$\sqrt{4a^2} = \sqrt{\frac{100}{h^2}} \implies 2a = \frac{10}{h}$.
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 4ah = 2 \cdot (2a) \cdot h$.
Подставим найденное выражение для $2a$:
$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{10}{h}) \cdot h = 20$ см$^2$.
Ответ: 20 см$^2$.

Самостоятельная работа № 21

Пирамида

1. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

1.Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Пусть $a$ — длина стороны основания. Плоский угол при вершине — это угол в боковой грани, например, $\angle ASB = \alpha$. Найти нужно двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $AB$.
Двугранный угол при ребре $AB$ измеряется линейным углом между двумя перпендикулярами к этому ребру, проведенными в плоскостях граней.
Проведем апофему $SK$ боковой грани $SAB$, где $K$ — середина ребра $AB$. Тогда $SK \perp AB$.
Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Проведем отрезок $OK$. Так как $OK$ — средняя линия треугольника $ABD$ (если провести диагональ $BD$), то $OK \parallel AD$ и $OK \perp AB$. Также $OK$ является проекцией апофемы $SK$ на плоскость основания.
Таким образом, искомый двугранный угол $\beta$ равен углу $\angle SKO$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (где $\angle SOK = 90^{\circ}$), в котором $SO$ — высота пирамиды. По определению косинуса:$cos(\beta) = \frac{OK}{SK}$.
Длина отрезка $OK$ равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{a}{2}$.
Теперь найдем длину апофемы $SK$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $SAB$. $SK$ является в нем высотой, медианой и биссектрисой. Следовательно, $\angle ASK = \frac{\alpha}{2}$, а $AK = \frac{a}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $ASK$:$tg(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AK}{SK} = \frac{a/2}{SK}$.
Отсюда выразим $SK$:$SK = \frac{a/2}{tg(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \cdot tg(\frac{\alpha}{2})}$.
Подставим выражения для $OK$ и $SK$ в формулу для косинуса угла $\beta$:$cos(\beta) = \frac{a/2}{\frac{a}{2 \cdot tg(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2 \cdot tg(\frac{\alpha}{2})}{a} = tg(\frac{\alpha}{2})$.
Следовательно, искомый двугранный угол $\beta$ равен $arccos(tg(\frac{\alpha}{2}))$.

Ответ: $arccos(tg(\frac{\alpha}{2}))$.

2.Основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=8$ см и $BC=4$ см. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны (в данном случае $60^{\circ}$), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.
Свойство описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции: $AD + BC = AB + CD$.
Поскольку трапеция равнобокая, $AB = CD$. Подставим известные значения:$8 + 4 = 2 \cdot AB \Rightarrow 12 = 2 \cdot AB \Rightarrow AB = CD = 6$ см.
Найдем площадь основания $S_{осн}$. Для этого нам нужна высота трапеции $h_{тр}$. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$ см.
Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора:$h_{тр} = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь можем найти площадь основания:$S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h_{тр} = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти, зная площадь основания и двугранный угол $\beta$ при ребре основания. Площадь основания является проекцией боковой поверхности на плоскость основания. Связь между ними выражается формулой:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{cos(\beta)}$.
Подставим наши значения $\beta=60^{\circ}$:$S_{бок} = \frac{24\sqrt{2}}{cos(60^{\circ})} = \frac{24\sqrt{2}}{1/2} = 48\sqrt{2}$ см².
Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площадей основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24\sqrt{2} + 48\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72\sqrt{2}$ см².

3.Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^{\circ}$. Это означает, что все двугранные углы при ребрах основания равны $30^{\circ}$, и вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности, точку $O$. Искомая высота пирамиды — это длина отрезка $SO$.
Пусть $K$ — середина стороны $BC$ основания. Тогда $SK$ — апофема боковой грани $SBC$, а отрезок $OK$ — ее проекция на плоскость основания. Угол $\angle SKO$ является линейной мерой двугранного угла при ребре $BC$, то есть $\angle SKO = 30^{\circ}$.
Отрезок $OK$ является радиусом $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности. Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Подставим $a=12$ см:$r = OK = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (с прямым углом $\angle SOK$). Мы знаем катет $OK$ и противолежащий ему угол $\angle SKO$. Высоту $H = SO$ можно найти через тангенс этого угла:$tg(\angle SKO) = \frac{SO}{OK}$.
$H = SO = OK \cdot tg(30^{\circ})$.
Подставим известные значения:$H = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.