Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

1. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$ длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как $9 : 16$.

2. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$. Расстояние между прямой $BD$ и плоскостью $\alpha$ равно 5 см, а проекции отрезков $AB$ и $AD$ на эту плоскость равны 8 см и 7 см соответственно. Найдите диагональ $AC$ параллелограмма, если диагональ $BD$ равна 9 см.

3. На ребре $DC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $M$ так, что $DM : MC = 1 : 2$. Известно, что $AB = BC$, $AD = DC = 15$ см, $AC = 18$ см. Найдите расстояние между прямыми $BM$ и $AC$.

1.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, тогда $AH$ — искомое расстояние. $AB$ и $AC$ — наклонные, проведенные из точки $A$ к плоскости $\alpha$. $HB$ и $HC$ — проекции этих наклонных на плоскость $\alpha$.

Треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными, так как $AH \perp \alpha$, а значит $AH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$AH^2 + HB^2 = AB^2$

$AH^2 + HC^2 = AC^2$

Обозначим искомое расстояние $AH$ как $h$. Тогда:

$h^2 = AB^2 - HB^2 = 15^2 - HB^2 = 225 - HB^2$

$h^2 = AC^2 - HC^2 = 20^2 - HC^2 = 400 - HC^2$

Приравнивая правые части, получаем:

$225 - HB^2 = 400 - HC^2$

$HC^2 - HB^2 = 400 - 225 = 175$

По условию, проекции наклонных относятся как $9:16$. Пусть $HB = 9k$ и $HC = 16k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k > 0$. Подставим эти выражения в полученное уравнение:

$(16k)^2 - (9k)^2 = 175$

$256k^2 - 81k^2 = 175$

$175k^2 = 175$

$k^2 = 1 \implies k = 1$

Теперь найдем длины проекций: $HB = 9 \cdot 1 = 9$ см и $HC = 16 \cdot 1 = 16$ см.

Найдем высоту $h$, используя любое из уравнений для $h^2$:

$h^2 = 225 - HB^2 = 225 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2.

Пусть $h$ — расстояние между параллельной прямой $BD$ и плоскостью $\alpha$. По условию $h=5$ см. Так как плоскость $\alpha$ проходит через вершину $A$, то расстояние от точек $B$ и $D$ до плоскости $\alpha$ будет одинаковым и равным $h=5$ см. Обозначим проекции точек $B, C, D$ на плоскость $\alpha$ как $B', C', D'$ соответственно. Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с ней самой.

Длины перпендикуляров, опущенных из $B$ и $D$ на плоскость $\alpha$, равны $BB' = 5$ см и $DD' = 5$ см.

Проекции отрезков $AB$ и $AD$ на плоскость $\alpha$ — это отрезки $AB'$ и $AD'$. По условию $AB' = 8$ см и $AD' = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABB'$ и $\triangle ADD'$. По теореме Пифагора найдем длины сторон параллелограмма $AB$ и $AD$:

$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$

$AD^2 = (AD')^2 + (DD')^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (или удвоенной сумме квадратов смежных сторон):

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

Подставим известные значения ($BD=9$ см, $AB^2=89$, $AD^2=74$):

$AC^2 + 9^2 = 2(89 + 74)$

$AC^2 + 81 = 2 \cdot 163$

$AC^2 + 81 = 326$

$AC^2 = 326 - 81 = 245$

$AC = \sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$ см.

Ответ: $7\sqrt{5}$ см.

3.

В условии данной задачи недостаточно данных для однозначного решения. Необходимо знать длину ребра $AB$ (или $BC$) и двугранный угол при ребре $AC$. Решим задачу для наиболее вероятного симметричного случая, который подразумевается в подобных задачах: $AB = AD = 15$ см, а плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ взаимно перпендикулярны.

1. Пусть $K$ — середина ребра $AC$. Тогда $AK = KC = 18/2 = 9$ см.

2. В равнобедренном треугольнике $ADC$ ($AD=DC=15$ см) медиана $DK$ является также высотой, т.е. $DK \perp AC$. Из прямоугольного треугольника $DKC$ по теореме Пифагора:

$DK = \sqrt{DC^2 - KC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Аналогично, в равнобедренном треугольнике $ABC$ (по нашему предположению $AB=BC=15$ см) медиана $BK$ является высотой, т.е. $BK \perp AC$. Из прямоугольного треугольника $BKC$:

$BK = \sqrt{BC^2 - KC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

4. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DK$ и $BK$ в плоскости $BDK$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDK$.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BM$ равно расстоянию от прямой $AC$ до плоскости, проходящей через $BM$ и параллельной $AC$. Это расстояние также можно найти, спроецировав обе прямые на плоскость, перпендикулярную одной из них. Спроектируем прямые на плоскость $BDK$.

- Проекцией прямой $AC$ на плоскость $BDK$ является точка их пересечения $K$.

- Проекцией прямой $BM$ на плоскость $BDK$ является прямая $BM'$, где $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость $BDK$.

- Искомое расстояние равно расстоянию от точки $K$ до прямой $BM'$.

6. Найдем положение точки $M'$. Так как $M$ лежит на ребре $DC$, а $AC \perp (BDK)$, то отрезок $MM'$ параллелен $AC$ (и $KC$). Из подобия треугольников $\triangle DMM'$ и $\triangle DCK$ (по двум углам) следует:

$\frac{DM'}{DK} = \frac{DM}{DC}$

По условию $DM:MC = 1:2$, значит $DM = \frac{1}{3} DC$. Следовательно:

$DM' = \frac{1}{3} DK = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Точка $M'$ лежит на отрезке $DK$, и $KM' = DK - DM' = 12 - 4 = 8$ см.

7. Теперь задача сводится к нахождению в плоскости $BDK$ расстояния от точки $K$ до прямой $BM'$. Это расстояние равно высоте $h_K$ треугольника $BKM'$, опущенной из вершины $K$ на сторону $BM'$.

8. По нашему предположению, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Угол между ними равен углу между их высотами, проведенными к линии пересечения $AC$, т.е. $\angle BKD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BKM'$ является прямоугольным с катетами $BK=12$ см и $KM'=8$ см.

9. Найдем гипотенузу $BM'$:

$BM' = \sqrt{BK^2 + (KM')^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208}$ см.

10. Высоту $h_K$, опущенную на гипотенузу, можно найти из формулы площади прямоугольного треугольника:

$S = \frac{1}{2} BK \cdot KM' = \frac{1}{2} BM' \cdot h_K$

$h_K = \frac{BK \cdot KM'}{BM'} = \frac{12 \cdot 8}{\sqrt{208}} = \frac{96}{\sqrt{16 \cdot 13}} = \frac{96}{4\sqrt{13}} = \frac{24}{\sqrt{13}} = \frac{24\sqrt{13}}{13}$ см.

Ответ: $\frac{24\sqrt{13}}{13}$ см.

Самостоятельная работа № 12

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6 см, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OM$ длиной 3 см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника.

2. Из точки $M$, не принадлежащей плоскости прямого угла, проведены перпендикуляры $MK$ и $MF$ к его сторонам. Известно, что $MK = MF = 8$ см, а расстояние от точки $M$ до плоскости угла равно $2\sqrt{7}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины угла.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AD : AB = 1 : 2$. На ребре $AB$ отметили точку $M$ так, что прямая $MD$ перпендикулярна прямой $A_1C$. Найдите отношение $AM : AB$.

1.

Пусть дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 6$ см. Центр $O$ вписанной окружности является также точкой пересечения высот, медиан и биссектрис. К плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OM$ длиной $OM = 3$ см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, точка $H$ будет являться основанием высоты, медианы и биссектрисы, проведенной из вершины $B$, а отрезок $OH$ — радиусом $r$ вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника.

Подставим значение $a=6$ см:

$OH = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Так как $OM$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ по условию, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OH$. Следовательно, треугольник $OMH$ — прямоугольный с прямым углом $O$.

По теореме о трёх перпендикулярах: $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MH$ — наклонная, а $OH$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $OH$ перпендикулярна стороне $AC$, то и сама наклонная $MH$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AC$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OMH$:

$MH^2 = OM^2 + OH^2$

$MH^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$

$MH = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник $ABC$ правильный, расстояния от точки $M$ до всех его сторон равны.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

2.

Пусть дан прямой угол с вершиной в точке $V$, его стороны лежат в плоскости $\alpha$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$, тогда $O \in \alpha$ и $MO = 2\sqrt{7}$ см. Это расстояние от точки $M$ до плоскости угла.

Из точки $M$ проведены перпендикуляры $MK$ и $MF$ к сторонам угла. Пусть $K$ и $F$ — основания этих перпендикуляров, лежащие на сторонах угла. По условию $MK = MF = 8$ см.

Рассмотрим отрезок $MK$. $MK$ — наклонная к плоскости $\alpha$, $MO$ — перпендикуляр к плоскости, а $OK$ — проекция наклонной $MK$ на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах, так как наклонная $MK$ перпендикулярна стороне угла (прямой $VK$), то и её проекция $OK$ перпендикулярна этой же стороне: $OK \perp VK$.

Аналогично, для наклонной $MF$ её проекция $OF$ перпендикулярна стороне $VF$: $OF \perp VF$.

В плоскости $\alpha$ рассмотрим четырехугольник $OKVF$. В нём $\angle KVF = 90^\circ$ (по условию), $\angle VKO = 90^\circ$ и $\angle VFO = 90^\circ$. Следовательно, $OKVF$ — прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOK$ (угол $O$ прямой, так как $MO \perp \alpha$). По теореме Пифагора:

$MK^2 = MO^2 + OK^2$

$OK^2 = MK^2 - MO^2 = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

$OK = \sqrt{36} = 6$ см.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $MOF$:

$OF^2 = MF^2 - MO^2 = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 36$

$OF = 6$ см.

Так как $OKVF$ — прямоугольник, у которого смежные стороны $OK=6$ см и $OF=6$ см, то он является квадратом.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до вершины угла, то есть длину отрезка $MV$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOV$ (угол $O$ прямой). Катет $MO$ нам известен. Второй катет $OV$ является диагональю квадрата $OKVF$.

Длину диагонали квадрата $OV$ найдем по теореме Пифагора для треугольника $OKV$ (где $VK=OF=6$ см):

$OV^2 = OK^2 + VK^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

Теперь найдем гипотенузу $MV$ в треугольнике $MOV$:

$MV^2 = MO^2 + OV^2 = (2\sqrt{7})^2 + 72 = 28 + 72 = 100$

$MV = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

3.

Введём векторный базис с началом в вершине $D$. Пусть $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{DD_1} = \vec{c}$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно ортогональны, то есть их скалярные произведения равны нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.

По условию $AD : AB = 1 : 2$. Поскольку $AD = |\vec{a}|$ и $AB = DC = |\vec{b}|$, то $|\vec{a}| : |\vec{b}| = 1 : 2$. Обозначим $|\vec{a}| = x$, тогда $|\vec{b}| = 2x$.

Точка $M$ лежит на ребре $AB$. Пусть искомое отношение $AM : AB = \lambda$. Тогда вектор $\vec{AM} = \lambda \cdot \vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$, то $\vec{AM} = \lambda\vec{b}$.

Выразим векторы $\vec{MD}$ и $\vec{A_1C}$ через базисные векторы.

$\vec{MD} = \vec{MA} + \vec{AD} = -\vec{AM} - \vec{DA} = -\lambda\vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DC} = -\vec{AA_1} - \vec{DA} + \vec{DC}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$, $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$, получаем:

$\vec{A_1C} = -\vec{c} - \vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

По условию прямая $MD$ перпендикулярна прямой $A_1C$. Это означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{MD} \cdot \vec{A_1C} = 0$.

$(-\lambda\vec{b} - \vec{a}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(-\lambda\vec{b}) \cdot (-\vec{a}) + (-\lambda\vec{b}) \cdot \vec{b} + (-\lambda\vec{b}) \cdot (-\vec{c}) + (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a}) + (-\vec{a}) \cdot \vec{b} + (-\vec{a}) \cdot (-\vec{c}) = 0$

$\lambda(\vec{b} \cdot \vec{a}) - \lambda(\vec{b} \cdot \vec{b}) + \lambda(\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$

Учитывая ортогональность базисных векторов ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, и т.д.) и то, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, получаем:

$\lambda \cdot 0 - \lambda|\vec{b}|^2 + \lambda \cdot 0 + |\vec{a}|^2 - 0 + 0 = 0$

$|\vec{a}|^2 - \lambda|\vec{b}|^2 = 0$

Подставим известные соотношения для длин векторов $|\vec{a}| = x$ и $|\vec{b}| = 2x$:

$x^2 - \lambda(2x)^2 = 0$

$x^2 - \lambda \cdot 4x^2 = 0$

$x^2(1 - 4\lambda) = 0$

Так как $x$ — длина ребра и $x \neq 0$, то $1 - 4\lambda = 0$, откуда $\lambda = \frac{1}{4}$.

Таким образом, отношение $AM : AB = \lambda$, что равно $1 : 4$.

Ответ: 1 : 4.