Страница 4 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 1

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C, если:

1) $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см;

2) $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см?

2. Вершина A треугольника ABC принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины B и C ей не принадлежат. Продолжения биссектрис BM и CK треугольника ABC пересекают плоскость $\alpha$ в точках E и F соответственно. Докажите, что точки A, E и F лежат на одной прямой.

3. Середины трёх сторон треугольника принадлежит плоскости $\alpha$. Принадлежат ли плоскости $\alpha$ вершины треугольника?

1.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечно много плоскостей. Чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой, нужно проверить неравенство треугольника: сумма длин двух любых отрезков должна быть больше длины третьего отрезка. Если сумма длин двух отрезков равна длине третьего, точки лежат на одной прямой.

1) Даны длины сторон: $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см.
Проверим неравенство треугольника:
$AB + BC = 13 + 17 = 30 > 24 = AC$
$AB + AC = 13 + 24 = 37 > 17 = BC$
$BC + AC = 17 + 24 = 41 > 13 = AB$
Все условия неравенства треугольника выполняются. Следовательно, точки A, B и C не лежат на одной прямой и образуют треугольник. Через эти три точки можно провести только одну плоскость.

Ответ: 1 плоскость.

2) Даны длины сторон: $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см.
Проверим, выполняется ли равенство для каких-либо сторон:
$AB + BC = 14 + 16 = 30$ см.
Так как $AB + BC = AC$, точка B лежит на отрезке AC. Это означает, что все три точки A, B и C лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: бесконечно много плоскостей.

2.

Плоскость треугольника ABC (обозначим ее как $\beta$) и данная плоскость $\alpha$ — это две различные плоскости, так как вершины B и C принадлежат плоскости $\beta$, но не принадлежат плоскости $\alpha$.
Точка A по условию принадлежит обеим плоскостям: $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.
Биссектриса BM лежит в плоскости треугольника $\beta$. Ее продолжение, прямая BE, также целиком лежит в плоскости $\beta$. Точка E, по условию, лежит на этой прямой и в то же время принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка E является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Аналогично, биссектриса CK и ее продолжение, прямая CF, лежат в плоскости треугольника $\beta$. Точка F, по условию, лежит на этой прямой и в то же время принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка F также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Таким образом, точки A, E и F являются общими точками для двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно аксиоме о пересечении двух плоскостей, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой пересечения.
Следовательно, точки A, E и F лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости треугольника ABC и плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Пусть вершины треугольника — это точки A, B, C. Обозначим середины его сторон как M (середина AB), N (середина BC) и P (середина AC).
По условию, точки M, N и P принадлежат плоскости $\alpha$.
Точки M, N, P не лежат на одной прямой, так как они являются вершинами треугольника MNP (среднего треугольника для $\triangle ABC$). Следовательно, эти три точки однозначно определяют плоскость. Эта плоскость и есть плоскость $\alpha$.
Рассмотрим прямую MP. Точки M и P лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая MP лежит в плоскости $\alpha$.
Рассмотрим прямую MN. Точки M и N лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая MN лежит в плоскости $\alpha$.
Прямые MP и MN пересекаются в точке M. Две пересекающиеся прямые (MP и MN) лежат в плоскости треугольника ABC, так как все их точки (M, N, P) принадлежат этой плоскости. Таким образом, плоскость, определенная прямыми MP и MN, совпадает с плоскостью треугольника ABC.
Поскольку эти же прямые лежат в плоскости $\alpha$, то плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью треугольника ABC.
Так как вершины A, B и C лежат в плоскости треугольника ABC, они также принадлежат и плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, принадлежат.

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $AM$ и точки $O$ и $C$?

2. Точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $\beta$, а точка $K$ — по другую. Известно, что прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Докажите, что точки их пересечения с плоскостью $\beta$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $a$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$. На прямой $a$ отметили точки $D$ и $E$. Могут ли прямые $BE$ и $CD$ пересекаться?

1.
По условию, $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Ромб лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что все его вершины ($A, B, C, D$) и точка пересечения диагоналей $O$ лежат в плоскости $\alpha$.
Диагонали ромба лежат на прямых, проходящих через его вершины. В частности, точки $A, O, C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$.
Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$). Поскольку прямая $AC$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, точка $M$ не может лежать на прямой $AC$.
Таким образом, мы имеем три точки — $A, M$ и $C$ — которые не лежат на одной прямой.
Согласно следствию из аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Проведём плоскость $\gamma$ через точки $A, M, C$.
Эта плоскость $\gamma$ будет содержать:
1. Точки $A$ и $M$, а значит, и всю прямую $AM$ (по аксиоме).
2. Точки $A$ и $C$, а значит, и всю прямую $AC$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $\gamma$, то и точка $O$ также лежит в плоскости $\gamma$.
Следовательно, можно провести плоскость $\gamma$, которая проходит через прямую $AM$ и точки $O$ и $C$.
Ответ: Да, можно.

2.
Рассмотрим три точки $M, N, K$. По условию, прямые $MN, MK$ и $NK$ — это три разные прямые, пересекающие плоскость $\beta$. Это означает, что точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. Таким образом, точки $M, N, K$ принадлежат плоскости $\gamma$.
Поскольку точки $M, N, K$ лежат в плоскости $\gamma$, то и прямые $MN, MK$ и $NK$, соединяющие эти точки, также полностью лежат в плоскости $\gamma$.
По условию, каждая из этих прямых пересекает плоскость $\beta$. Это значит, что плоскость $\gamma$ не параллельна плоскости $\beta$ и не совпадает с ней.
Две плоскости, которые не параллельны, пересекаются по прямой. Пусть плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $l$.
Рассмотрим точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\beta$. Обозначим ее $P_1$. Так как $MN \subset \gamma$, то точка $P_1$ принадлежит плоскости $\gamma$. По определению, точка $P_1$ принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $P_1$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть $P_1 \in l$.
Аналогично, точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $\beta$, назовем ее $P_2$, принадлежит и прямой $MK$ (а значит, и плоскости $\gamma$), и плоскости $\beta$. Следовательно, $P_2 \in l$.
Точно так же точка пересечения прямой $NK$ с плоскостью $\beta$, назовем ее $P_3$, принадлежит и прямой $NK$ (а значит, и плоскости $\gamma$), и плоскости $\beta$. Следовательно, $P_3 \in l$.
Таким образом, все три точки пересечения ($P_1, P_2, P_3$) лежат на одной прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости $(MNK)$ и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

3.
Предположим, что прямые $BE$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $P$.
Если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\gamma$.
Эта плоскость $\gamma$ содержит прямые $BE$ и $CD$, а значит, содержит и все четыре точки: $B, E, C, D$.
Поскольку плоскость $\gamma$ содержит точки $B$ и $C$, она содержит и всю прямую $BC$.
Поскольку плоскость $\gamma$ содержит точки $D$ и $E$, она содержит и всю прямую $DE$, которая по условию является прямой $a$.
Итак, в плоскости $\gamma$ лежат прямая $a$ и прямая $BC$.
По условию, прямая $a$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $A$. Обозначим плоскость $(ABC)$ как $\pi$. Точка $A$ принадлежит прямой $a$, следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\gamma$.
Таким образом, плоскость $\gamma$ содержит три точки: $A, B, C$. В условии сказано "плоскость $ABC$", что подразумевает, что точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой и однозначно задают плоскость $\pi$.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\pi$.
Если $\gamma = \pi$, а мы установили, что прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, то получается, что прямая $a$ должна лежать в плоскости $\pi$.
Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $a$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$. Это означает, что $A$ — единственная общая точка прямой $a$ и плоскости $\pi$.
Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые $BE$ и $CD$ пересекаются. Следовательно, это предположение неверно. Прямые $BE$ и $CD$ являются скрещивающимися.
Ответ: Нет, не могут.