Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $AM$ и точки $O$ и $C$?

2. Точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $\beta$, а точка $K$ — по другую. Известно, что прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Докажите, что точки их пересечения с плоскостью $\beta$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $a$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$. На прямой $a$ отметили точки $D$ и $E$. Могут ли прямые $BE$ и $CD$ пересекаться?

1.
По условию, $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Ромб лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что все его вершины ($A, B, C, D$) и точка пересечения диагоналей $O$ лежат в плоскости $\alpha$.
Диагонали ромба лежат на прямых, проходящих через его вершины. В частности, точки $A, O, C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$.
Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$). Поскольку прямая $AC$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, точка $M$ не может лежать на прямой $AC$.
Таким образом, мы имеем три точки — $A, M$ и $C$ — которые не лежат на одной прямой.
Согласно следствию из аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Проведём плоскость $\gamma$ через точки $A, M, C$.
Эта плоскость $\gamma$ будет содержать:
1. Точки $A$ и $M$, а значит, и всю прямую $AM$ (по аксиоме).
2. Точки $A$ и $C$, а значит, и всю прямую $AC$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $\gamma$, то и точка $O$ также лежит в плоскости $\gamma$.
Следовательно, можно провести плоскость $\gamma$, которая проходит через прямую $AM$ и точки $O$ и $C$.
Ответ: Да, можно.

2.
Рассмотрим три точки $M, N, K$. По условию, прямые $MN, MK$ и $NK$ — это три разные прямые, пересекающие плоскость $\beta$. Это означает, что точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. Таким образом, точки $M, N, K$ принадлежат плоскости $\gamma$.
Поскольку точки $M, N, K$ лежат в плоскости $\gamma$, то и прямые $MN, MK$ и $NK$, соединяющие эти точки, также полностью лежат в плоскости $\gamma$.
По условию, каждая из этих прямых пересекает плоскость $\beta$. Это значит, что плоскость $\gamma$ не параллельна плоскости $\beta$ и не совпадает с ней.
Две плоскости, которые не параллельны, пересекаются по прямой. Пусть плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $l$.
Рассмотрим точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\beta$. Обозначим ее $P_1$. Так как $MN \subset \gamma$, то точка $P_1$ принадлежит плоскости $\gamma$. По определению, точка $P_1$ принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $P_1$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть $P_1 \in l$.
Аналогично, точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $\beta$, назовем ее $P_2$, принадлежит и прямой $MK$ (а значит, и плоскости $\gamma$), и плоскости $\beta$. Следовательно, $P_2 \in l$.
Точно так же точка пересечения прямой $NK$ с плоскостью $\beta$, назовем ее $P_3$, принадлежит и прямой $NK$ (а значит, и плоскости $\gamma$), и плоскости $\beta$. Следовательно, $P_3 \in l$.
Таким образом, все три точки пересечения ($P_1, P_2, P_3$) лежат на одной прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости $(MNK)$ и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

3.
Предположим, что прямые $BE$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $P$.
Если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\gamma$.
Эта плоскость $\gamma$ содержит прямые $BE$ и $CD$, а значит, содержит и все четыре точки: $B, E, C, D$.
Поскольку плоскость $\gamma$ содержит точки $B$ и $C$, она содержит и всю прямую $BC$.
Поскольку плоскость $\gamma$ содержит точки $D$ и $E$, она содержит и всю прямую $DE$, которая по условию является прямой $a$.
Итак, в плоскости $\gamma$ лежат прямая $a$ и прямая $BC$.
По условию, прямая $a$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $A$. Обозначим плоскость $(ABC)$ как $\pi$. Точка $A$ принадлежит прямой $a$, следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\gamma$.
Таким образом, плоскость $\gamma$ содержит три точки: $A, B, C$. В условии сказано "плоскость $ABC$", что подразумевает, что точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой и однозначно задают плоскость $\pi$.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\pi$.
Если $\gamma = \pi$, а мы установили, что прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, то получается, что прямая $a$ должна лежать в плоскости $\pi$.
Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $a$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$. Это означает, что $A$ — единственная общая точка прямой $a$ и плоскости $\pi$.
Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые $BE$ и $CD$ пересекаются. Следовательно, это предположение неверно. Прямые $BE$ и $CD$ являются скрещивающимися.
Ответ: Нет, не могут.