Номер 7, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями на плоскость $\alpha$ соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $AB = 2$ см, $A_1B_1 = AC = 4$ см.

2. Точки $M$, $D$, $K$ и $F$ принадлежат рёбрам $SC$, $SB$, $AB$ и $AC$ тетраэдра $SABC$ соответственно. Известно, что $SM : MC = SD : DB = 1 : 2$, $AK : KB = AF : FC = 3 : 2$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $MD$ и $KF$ на плоскость $ASB$ в направлении прямой $AC$? Найдите отношение проекций отрезков $MD$ и $KF$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\beta$ (рис. 8). Прямая $l_1$ принадлежит плоскости $\beta$ и является проекцией прямой $l$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $l$.

Рис. 8

1. При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Точки A, B, C лежат на одной прямой, следовательно, их проекции A₁, B₁, C₁ также лежат на одной прямой.
По свойству параллельного проектирования, отношение отрезков сохраняется:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1} $
Подставим известные значения в эту формулу:
$AB = 2$ см
$AC = 4$ см
$A_1B_1 = 4$ см
Получаем:
$ \frac{2}{4} = \frac{4}{A_1C_1} $
$ \frac{1}{2} = \frac{4}{A_1C_1} $
Отсюда находим $A_1C_1$:
$ A_1C_1 = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.

2. Рассмотрим тетраэдр SABC и заданные точки.
1. В треугольнике SCB точки M и D лежат на сторонах SC и SB соответственно. По условию, $SM : MC = 1 : 2$ и $SD : DB = 1 : 2$. Это означает, что $SM/SC = 1/(1+2) = 1/3$ и $SD/SB = 1/(1+2) = 1/3$. Так как $SM/SC = SD/SB$, по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая MD параллельна прямой CB ($MD || CB$).
2. В треугольнике ABC точки K и F лежат на сторонах AB и AC соответственно. По условию, $AK : KB = 3 : 2$ и $AF : FC = 3 : 2$. Это означает, что $AK/AB = 3/(3+2) = 3/5$ и $AF/AC = 3/(3+2) = 3/5$. Так как $AK/AB = AF/AC$, то прямая KF параллельна прямой CB ($KF || CB$).
Поскольку $MD || CB$ и $KF || CB$, то прямые MD и KF параллельны друг другу ($MD || KF$).

Теперь найдем проекции прямых MD и KF на плоскость ASB в направлении прямой AC. Обозначим проекцию точки P как P'.
- Точки K и D лежат в плоскости проекции ASB (K на AB, D на SB), поэтому они проецируются сами в себя: $K' = K$, $D' = D$.
- Точка F лежит на прямой AC, которая задает направление проектирования. Проекция точки F — это точка пересечения прямой, проходящей через F параллельно AC (то есть самой прямой AC), с плоскостью ASB. Эта точка пересечения — вершина A. Таким образом, $F' = A$.
- Точка M лежит на ребре SC. Ее проекция M' — это точка пересечения прямой, проходящей через M параллельно AC, с плоскостью ASB. Эта прямая лежит в плоскости SAC и пересекает ребро SA. В треугольнике SAC по теореме Фалеса, так как $MM' || AC$ и $SM/SC = 1/3$, то $SM'/SA = 1/3$.

Проекцией отрезка MD является отрезок M'D. В треугольнике SAB имеем $SM'/SA = 1/3$ и $SD/SB = 1/3$, следовательно, $M'D || AB$ и $M'D = \frac{1}{3}AB$.
Проекцией отрезка KF является отрезок K'F', то есть отрезок KA.
Таким образом, проекции прямых MD и KF — это две параллельные прямые M'D и AB.

Найдем отношение длин проекций отрезков $M'D$ и $KA$.
Длина проекции MD: $M'D = \frac{1}{3}AB$.
Длина проекции KF: $KA$. Из условия $AK : KB = 3 : 2$ следует, что $AK = \frac{3}{3+2}AB = \frac{3}{5}AB$.
Искомое отношение:
$ \frac{M'D}{KA} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{3}{5}AB} = \frac{1/3}{3/5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{9} $.

Ответ: Проекцией является пара параллельных прямых. Отношение проекций отрезков MD и KF равно 5:9.

3. Для построения исходной прямой $l$, лежащей в плоскости ABC, по ее проекции $l_1$ на плоскость $\beta$, необходимо найти две точки, принадлежащие прямой $l$. Эти точки можно найти как прообразы двух произвольных точек на прямой $l_1$.
Построение выполняется следующим образом:
1. Находим точку пересечения $X_1$ прямой $l_1$ с проекцией одной из сторон треугольника ABC, например, с прямой $A_1B_1$. (Если $l_1 || A_1B_1$, используем другую сторону, например $B_1C_1$).
2. Точка $X_1$ является проекцией точки X, которая одновременно принадлежит искомой прямой $l$ и прямой AB.
3. Строим точку X. Для этого через точку $X_1$ проводим прямую, параллельную направлению проектирования (например, параллельную $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой AB и будет искомой точкой X.
4. Аналогично находим вторую точку Y. Находим точку пересечения $Y_1$ прямой $l_1$ с проекцией другой стороны треугольника, например, с прямой $B_1C_1$.
5. Прообраз точки $Y_1$, точка Y, принадлежит одновременно прямой $l$ и прямой BC.
6. Строим точку Y. Через точку $Y_1$ проводим прямую, параллельную $BB_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой BC будет искомой точкой Y.
7. Проводим прямую через построенные точки X и Y. Эта прямая и есть искомая прямая $l$.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Необходимо найти точки пересечения проекции $l_1$ с проекциями сторон треугольника $A_1B_1$ и $B_1C_1$, затем построить прообразы этих точек на соответствующих сторонах AB и BC, проведя через них прямые, параллельные направлению проекции. Прямая, проходящая через эти два построенных прообраза, является искомой прямой $l$.