Номер 1, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 1

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C, если:

1) $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см;

2) $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см?

2. Вершина A треугольника ABC принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины B и C ей не принадлежат. Продолжения биссектрис BM и CK треугольника ABC пересекают плоскость $\alpha$ в точках E и F соответственно. Докажите, что точки A, E и F лежат на одной прямой.

3. Середины трёх сторон треугольника принадлежит плоскости $\alpha$. Принадлежат ли плоскости $\alpha$ вершины треугольника?

1.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечно много плоскостей. Чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой, нужно проверить неравенство треугольника: сумма длин двух любых отрезков должна быть больше длины третьего отрезка. Если сумма длин двух отрезков равна длине третьего, точки лежат на одной прямой.

1) Даны длины сторон: $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см.
Проверим неравенство треугольника:
$AB + BC = 13 + 17 = 30 > 24 = AC$
$AB + AC = 13 + 24 = 37 > 17 = BC$
$BC + AC = 17 + 24 = 41 > 13 = AB$
Все условия неравенства треугольника выполняются. Следовательно, точки A, B и C не лежат на одной прямой и образуют треугольник. Через эти три точки можно провести только одну плоскость.

Ответ: 1 плоскость.

2) Даны длины сторон: $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см.
Проверим, выполняется ли равенство для каких-либо сторон:
$AB + BC = 14 + 16 = 30$ см.
Так как $AB + BC = AC$, точка B лежит на отрезке AC. Это означает, что все три точки A, B и C лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: бесконечно много плоскостей.

2.

Плоскость треугольника ABC (обозначим ее как $\beta$) и данная плоскость $\alpha$ — это две различные плоскости, так как вершины B и C принадлежат плоскости $\beta$, но не принадлежат плоскости $\alpha$.
Точка A по условию принадлежит обеим плоскостям: $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.
Биссектриса BM лежит в плоскости треугольника $\beta$. Ее продолжение, прямая BE, также целиком лежит в плоскости $\beta$. Точка E, по условию, лежит на этой прямой и в то же время принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка E является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Аналогично, биссектриса CK и ее продолжение, прямая CF, лежат в плоскости треугольника $\beta$. Точка F, по условию, лежит на этой прямой и в то же время принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка F также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Таким образом, точки A, E и F являются общими точками для двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно аксиоме о пересечении двух плоскостей, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой пересечения.
Следовательно, точки A, E и F лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости треугольника ABC и плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Пусть вершины треугольника — это точки A, B, C. Обозначим середины его сторон как M (середина AB), N (середина BC) и P (середина AC).
По условию, точки M, N и P принадлежат плоскости $\alpha$.
Точки M, N, P не лежат на одной прямой, так как они являются вершинами треугольника MNP (среднего треугольника для $\triangle ABC$). Следовательно, эти три точки однозначно определяют плоскость. Эта плоскость и есть плоскость $\alpha$.
Рассмотрим прямую MP. Точки M и P лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая MP лежит в плоскости $\alpha$.
Рассмотрим прямую MN. Точки M и N лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая MN лежит в плоскости $\alpha$.
Прямые MP и MN пересекаются в точке M. Две пересекающиеся прямые (MP и MN) лежат в плоскости треугольника ABC, так как все их точки (M, N, P) принадлежат этой плоскости. Таким образом, плоскость, определенная прямыми MP и MN, совпадает с плоскостью треугольника ABC.
Поскольку эти же прямые лежат в плоскости $\alpha$, то плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью треугольника ABC.
Так как вершины A, B и C лежат в плоскости треугольника ABC, они также принадлежат и плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, принадлежат.