Страница 7 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Параллельность плоскостей

1. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Плоскость, параллельная плоскости $BSC$, пересекает рёбра $SA$, $SD$ и $DC$ в точках $M$, $N$ и $E$ соответственно. Известно, что $SM : MA = 1 : 3$, $DC = 20$ см. Найдите отрезки $DE$ и $EC$.

2. Точки $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$. Точки $B$, $B_1$, $C$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6). Известно, что $AB \parallel A_1B_1$, $AC \parallel A_1C_1$, $AC : A_1C_1 = 3 : 1$, $BC = 12$ см.

1) Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

2) Найдите отрезок $B_1C_1$.

3. На рёбрах $AB$ и $BC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $D$ и $E$ соответственно. На грани $A_1B_1C_1$ отметили точку $F$ (рис. 7). Постройте сечение призмы плоскостью $DEF$.

Рис. 6

Рис. 7

1.Поскольку секущая плоскость MNE параллельна плоскости BSC, то их линии пересечения с третьей плоскостью параллельны.
1) Рассмотрим плоскость SDC. Секущая плоскость пересекает её по прямой NE, а плоскость BSC — по прямой SC. Следовательно, $NE \parallel SC$.
Из параллельности прямых следует подобие треугольников: $\triangle DNE \sim \triangle DSC$.
Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{DE}{DC} = \frac{DN}{DS}$.
2) Рассмотрим плоскость SAD. Плоскость BSC пересекает плоскость SAD по прямой, проходящей через вершину S и параллельной BC. Так как основание ABCD — параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Следовательно, линия пересечения плоскостей (SAD) и (BSC) параллельна AD. Секущая плоскость MNE, будучи параллельной (BSC), пересекает плоскость (SAD) по прямой MN, которая будет параллельна AD.
Из $MN \parallel AD$ следует подобие треугольников: $\triangle SMN \sim \triangle SAD$.
Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{SN}{SD} = \frac{SM}{SA}$.
3) По условию $SM : MA = 1 : 3$, значит $SA = SM + MA = SM + 3SM = 4SM$.
Тогда $\frac{SM}{SA} = \frac{SM}{4SM} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, $\frac{SN}{SD} = \frac{1}{4}$.
4) Найдем отношение $\frac{DN}{DS}$:
$DN = SD - SN = SD - \frac{1}{4}SD = \frac{3}{4}SD$.
Отсюда $\frac{DN}{DS} = \frac{3}{4}$.
5) Подставим это значение в соотношение из пункта 1:
$\frac{DE}{DC} = \frac{3}{4}$.
По условию $DC = 20$ см. Найдем DE:
$DE = \frac{3}{4} \cdot DC = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ см.
6) Найдем EC:
$EC = DC - DE = 20 - 15 = 5$ см.
Ответ: $DE = 15$ см, $EC = 5$ см.

1)По условию $AB \parallel A_1B_1$, значит, точки A, B, B₁, A₁ лежат в одной плоскости. Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O, так как они лежат в одной плоскости и не параллельны (поскольку точки A, A₁ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$, а B, B₁ — в плоскости $\alpha$).
Аналогично, по условию $AC \parallel A_1C_1$, значит, точки A, C, C₁, A₁ лежат в одной плоскости, и прямые AA₁ и CC₁ пересекаются в некоторой точке O'.
Рассмотрим треугольники O'AC и O'A₁C₁. Они подобны, так как $AC \parallel A_1C_1$. Из подобия следует, что $\frac{O'A}{O'A_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$. По условию $AC : A_1C_1 = 3 : 1$, следовательно, $\frac{O'A}{O'A_1} = 3$.
Рассмотрим треугольники OAB и OA₁B₁. Они подобны, так как $AB \parallel A_1B_1$. Из подобия следует, что $\frac{OA}{OA_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$.
Поскольку две пересекающиеся прямые AB и AC в плоскости (ABC) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым A₁B₁ и A₁C₁ в плоскости (A₁B₁C₁), то эти плоскости параллельны. Это означает, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Коэффициент подобия $k = \frac{AC}{A_1C_1} = 3$. Значит, и $\frac{AB}{A_1B_1} = 3$.
Тогда из соотношения для треугольников OAB и OA₁B₁ получаем $\frac{OA}{OA_1} = 3$.
Точки O и O' лежат на прямой AA₁ и обе удовлетворяют условию деления отрезка AA₁ в одном и том же отношении (считая от точки A₁). Такое возможно, только если точки O и O' совпадают.
Следовательно, прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
Ответ: Утверждение доказано.

2)Как было установлено в предыдущем пункте, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и коэффициент подобия $k$ равен 3.
Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
$\frac{BC}{B_1C_1} = k = 3$.
По условию $BC = 12$ см.
Тогда $B_1C_1 = \frac{BC}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.
Ответ: $B_1C_1 = 4$ см.

3.Построение искомого сечения выполняется следующим образом:
1. Соединяем точки D и E, так как они лежат в одной плоскости нижнего основания (ABC). Отрезок DE — это след секущей плоскости на грани ABC.
2. Плоскости оснований призмы (ABC) и (A₁B₁C₁) параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Значит, след секущей плоскости на верхнем основании будет параллелен прямой DE.
3. В плоскости верхнего основания (A₁B₁C₁) проводим через точку F прямую, параллельную прямой DE.
4. Находим точки пересечения этой прямой с ребрами верхнего основания. Обозначим эти точки G (на ребре A₁B₁) и H (на ребре B₁C₁). Отрезок GH — это след секущей плоскости на грани A₁B₁C₁.
5. Соединяем точку D (на ребре AB) с точкой G (на ребре A₁B₁), так как они лежат в одной плоскости боковой грани (ABB₁A₁).
6. Соединяем точку E (на ребре BC) с точкой H (на ребре B₁C₁), так как они лежат в одной плоскости боковой грани (BCC₁B₁).
7. Полученный четырёхугольник DEHG является искомым сечением.
Ответ: Искомым сечением является многоугольник DEHG, построенный согласно описанному алгоритму.

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями на плоскость $\alpha$ соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $AB = 2$ см, $A_1B_1 = AC = 4$ см.

2. Точки $M$, $D$, $K$ и $F$ принадлежат рёбрам $SC$, $SB$, $AB$ и $AC$ тетраэдра $SABC$ соответственно. Известно, что $SM : MC = SD : DB = 1 : 2$, $AK : KB = AF : FC = 3 : 2$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $MD$ и $KF$ на плоскость $ASB$ в направлении прямой $AC$? Найдите отношение проекций отрезков $MD$ и $KF$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\beta$ (рис. 8). Прямая $l_1$ принадлежит плоскости $\beta$ и является проекцией прямой $l$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $l$.

Рис. 8

1. При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Точки A, B, C лежат на одной прямой, следовательно, их проекции A₁, B₁, C₁ также лежат на одной прямой.
По свойству параллельного проектирования, отношение отрезков сохраняется:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1} $
Подставим известные значения в эту формулу:
$AB = 2$ см
$AC = 4$ см
$A_1B_1 = 4$ см
Получаем:
$ \frac{2}{4} = \frac{4}{A_1C_1} $
$ \frac{1}{2} = \frac{4}{A_1C_1} $
Отсюда находим $A_1C_1$:
$ A_1C_1 = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.

2. Рассмотрим тетраэдр SABC и заданные точки.
1. В треугольнике SCB точки M и D лежат на сторонах SC и SB соответственно. По условию, $SM : MC = 1 : 2$ и $SD : DB = 1 : 2$. Это означает, что $SM/SC = 1/(1+2) = 1/3$ и $SD/SB = 1/(1+2) = 1/3$. Так как $SM/SC = SD/SB$, по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая MD параллельна прямой CB ($MD || CB$).
2. В треугольнике ABC точки K и F лежат на сторонах AB и AC соответственно. По условию, $AK : KB = 3 : 2$ и $AF : FC = 3 : 2$. Это означает, что $AK/AB = 3/(3+2) = 3/5$ и $AF/AC = 3/(3+2) = 3/5$. Так как $AK/AB = AF/AC$, то прямая KF параллельна прямой CB ($KF || CB$).
Поскольку $MD || CB$ и $KF || CB$, то прямые MD и KF параллельны друг другу ($MD || KF$).

Теперь найдем проекции прямых MD и KF на плоскость ASB в направлении прямой AC. Обозначим проекцию точки P как P'.
- Точки K и D лежат в плоскости проекции ASB (K на AB, D на SB), поэтому они проецируются сами в себя: $K' = K$, $D' = D$.
- Точка F лежит на прямой AC, которая задает направление проектирования. Проекция точки F — это точка пересечения прямой, проходящей через F параллельно AC (то есть самой прямой AC), с плоскостью ASB. Эта точка пересечения — вершина A. Таким образом, $F' = A$.
- Точка M лежит на ребре SC. Ее проекция M' — это точка пересечения прямой, проходящей через M параллельно AC, с плоскостью ASB. Эта прямая лежит в плоскости SAC и пересекает ребро SA. В треугольнике SAC по теореме Фалеса, так как $MM' || AC$ и $SM/SC = 1/3$, то $SM'/SA = 1/3$.

Проекцией отрезка MD является отрезок M'D. В треугольнике SAB имеем $SM'/SA = 1/3$ и $SD/SB = 1/3$, следовательно, $M'D || AB$ и $M'D = \frac{1}{3}AB$.
Проекцией отрезка KF является отрезок K'F', то есть отрезок KA.
Таким образом, проекции прямых MD и KF — это две параллельные прямые M'D и AB.

Найдем отношение длин проекций отрезков $M'D$ и $KA$.
Длина проекции MD: $M'D = \frac{1}{3}AB$.
Длина проекции KF: $KA$. Из условия $AK : KB = 3 : 2$ следует, что $AK = \frac{3}{3+2}AB = \frac{3}{5}AB$.
Искомое отношение:
$ \frac{M'D}{KA} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{3}{5}AB} = \frac{1/3}{3/5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{9} $.

Ответ: Проекцией является пара параллельных прямых. Отношение проекций отрезков MD и KF равно 5:9.

3. Для построения исходной прямой $l$, лежащей в плоскости ABC, по ее проекции $l_1$ на плоскость $\beta$, необходимо найти две точки, принадлежащие прямой $l$. Эти точки можно найти как прообразы двух произвольных точек на прямой $l_1$.
Построение выполняется следующим образом:
1. Находим точку пересечения $X_1$ прямой $l_1$ с проекцией одной из сторон треугольника ABC, например, с прямой $A_1B_1$. (Если $l_1 || A_1B_1$, используем другую сторону, например $B_1C_1$).
2. Точка $X_1$ является проекцией точки X, которая одновременно принадлежит искомой прямой $l$ и прямой AB.
3. Строим точку X. Для этого через точку $X_1$ проводим прямую, параллельную направлению проектирования (например, параллельную $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой AB и будет искомой точкой X.
4. Аналогично находим вторую точку Y. Находим точку пересечения $Y_1$ прямой $l_1$ с проекцией другой стороны треугольника, например, с прямой $B_1C_1$.
5. Прообраз точки $Y_1$, точка Y, принадлежит одновременно прямой $l$ и прямой BC.
6. Строим точку Y. Через точку $Y_1$ проводим прямую, параллельную $BB_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой BC будет искомой точкой Y.
7. Проводим прямую через построенные точки X и Y. Эта прямая и есть искомая прямая $l$.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Необходимо найти точки пересечения проекции $l_1$ с проекциями сторон треугольника $A_1B_1$ и $B_1C_1$, затем построить прообразы этих точек на соответствующих сторонах AB и BC, проведя через них прямые, параллельные направлению проекции. Прямая, проходящая через эти два построенных прообраза, является искомой прямой $l$.