Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13). Точка $M$ принадлежит ребру $BB_1$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$.

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 14) плоскостью, проходящей через точки $T$, $F$ и $E$, принадлежащие ребрам $SA$, $AB$ и $BC$ соответственно.

3. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15) плоскостью, проходящей через вершины $C$ и $D$ и точку $K$, принадлежащую грани $AA_1B_1B$.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

1. Для построения прямой пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания призмы.

1. Найдем первую точку пересечения. Прямая $A_1M$ лежит в секущей плоскости $MA_1K$. Также прямая $A_1M$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. В этой же плоскости лежит прямая $AB$, которая принадлежит плоскости основания $ABC$. Поскольку прямые $A_1M$ и $AB$ лежат в одной плоскости ($AA_1B_1B$) и не параллельны (т.к. $M$ не совпадает с $B_1$), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$.
$P = A_1M \cap AB$.
Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $ABC$.
Так как точка $P$ лежит на прямой $A_1M$, она принадлежит плоскости $MA_1K$.
Следовательно, $P$ — первая общая точка двух плоскостей.

2. Найдем вторую точку пересечения. Аналогично, прямая $A_1K$ лежит в секущей плоскости $MA_1K$. Также прямая $A_1K$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. В этой же плоскости лежит прямая $AD$, которая принадлежит плоскости основания $ABC$. Прямые $A_1K$ и $AD$ лежат в одной плоскости ($AA_1D_1D$) и не параллельны (т.к. $K$ не совпадает с $D_1$), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$.
$Q = A_1K \cap AD$.
Так как точка $Q$ лежит на прямой $AD$, она принадлежит плоскости $ABC$.
Так как точка $Q$ лежит на прямой $A_1K$, она принадлежит плоскости $MA_1K$.
Следовательно, $Q$ — вторая общая точка двух плоскостей.

3. Прямая, проходящая через две найденные точки $P$ и $Q$, является линией пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$.
Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $A_1M$ и $AB$, а $Q$ — точка пересечения прямых $A_1K$ и $AD$.

2. Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $T$, $F$ и $E$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их.

1. Точки $T$ и $F$ лежат в плоскости грани $SAB$. Следовательно, отрезок $TF$ является одной из сторон сечения.

2. Точки $F$ и $E$ лежат в плоскости основания $ABC$. Проведем через них прямую $FE$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости основания. Продлим прямую $FE$ до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку их пересечения $P$.
$P = FE \cap AC$.

3. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $FE$) и плоскости грани $SAC$ (так как лежит на прямой $AC$). Точка $T$ также принадлежит плоскости грани $SAC$. Следовательно, прямая $TP$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $SAC$.

4. Прямая $TP$ пересекает ребро $SC$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$.
$G = TP \cap SC$.

5. Теперь у нас есть все вершины многоугольника сечения: $T$ на $SA$, $F$ на $AB$, $E$ на $BC$ и $G$ на $SC$. Последовательно соединяем эти точки отрезками: $TF$, $FE$, $EG$ и $GT$.

Полученный четырехугольник $TFEG$ и есть искомое сечение.
Ответ: Сечением является четырехугольник $TFEG$.

3. Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $C$, $D$ и точку $K$ на грани $AA_1B_1B$, выполним следующие действия.

1. Точки $C$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $CD$ является стороной искомого сечения.

2. Прямая $CD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. В основании призмы (если это параллелепипед или прямая призма с параллелограммом в основании) прямая $AB$ параллельна прямой $CD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $CD$ параллельна плоскости грани $AA_1B_1B$ ($CD \parallel AB$, $AB \subset (AA_1B_1)$ $\Rightarrow$ $CD \parallel (AA_1B_1)$).

3. По свойству: если плоскость (в нашем случае секущая плоскость) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($AA_1B_1B$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

4. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $CD$ (а значит и $AB$). Проведем в плоскости грани $AA_1B_1B$ через точку $K$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет боковые ребра $AA_1$ и $BB_1$ в точках, которые мы назовем $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ является стороной сечения.

5. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $C$, $D$, $P$ (на ребре $AA_1$) и $Q$ (на ребре $BB_1$). Соединим последовательно эти точки.

• $CD$ — пересечение с гранью $ABCD$.
• $DP$ — пересечение с гранью $AA_1D_1D$.
• $PQ$ — пересечение с гранью $AA_1B_1B$.
• $QC$ — пересечение с гранью $BB_1C_1C$.

Полученный четырехугольник $CDPQ$ является искомым сечением. Так как $PQ \parallel CD$, это сечение является трапецией.
Ответ: Сечением является четырехугольник (трапеция) $CDPQ$, где $P$ и $Q$ — точки пересечения прямой, проходящей через $K$ параллельно $AB$, с ребрами $AA_1$ и $BB_1$ соответственно.

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $B$ проведена прямая $b$, параллельная медиане $AM$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $CD$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $E$. Через точки $C$, $D$ и $E$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $C_1$, $D_1$ и $E_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

3. Точка $F$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 16). Через точку $F$ провели прямую, параллельную прямой $BD$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $AA_1D_1D$.

Рис. 16

1.

Для доказательства того, что прямые a и b скрещивающиеся, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $\alpha$.

2. Прямая b проходит через точку $B$ и параллельна медиане $AM$. Точки $A, B, M$ лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AM$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая b, проходящая через точку $B \in \alpha$ и параллельная прямой $AM \subset \alpha$, также лежит в плоскости $\alpha$.

3. Прямая a проходит через вершину $A$ и не принадлежит плоскости треугольника, то есть $a \not\subset \alpha$. Это означает, что прямая a пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.

4. Теперь нужно проверить, лежит ли точка пересечения $A$ на прямой b. Прямая b проходит через точку $B$ и параллельна $AM$. В треугольнике $ABC$ точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой, поэтому прямая, проходящая через $B$ параллельно $AM$, не может проходить через точку $A$. Таким образом, точка $A$ не лежит на прямой b.

Итак, прямая b лежит в плоскости $\alpha$, а прямая a пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой b. По признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые a и b скрещивающиеся, что и требовалось доказать.

2.

1)

Рассмотрим две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Назовем ее $\gamma$.

Точки $C, D, C_1, D_1$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $CD$, она также принадлежит плоскости $\gamma$.

Прямая $EE_1$ проходит через точку $E \in \gamma$ и параллельна прямой $CC_1$ (которая также лежит в $\gamma$). Если прямая проходит через точку плоскости и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она целиком лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

Таким образом, все три точки $C_1, D_1, E_1$ принадлежат плоскости $\gamma$.

По условию, точки $C_1, D_1, E_1$ также принадлежат плоскости $\beta$.

Следовательно, точки $C_1, D_1, E_1$ лежат на линии пересечения двух плоскостей $\gamma$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей - это прямая. Значит, точки $C_1, D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

2)

Поскольку параллельные прямые $CC_1, DD_1, EE_1$ пересекают прямые $CD$ и $C_1D_1$, то по обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Следовательно, выполняется соотношение: $ \frac{CE}{ED} = \frac{C_1E_1}{E_1D_1} $

Подставим известные значения: $ \frac{CE}{18} = \frac{16}{24} $

Упростим дробь в правой части: $16/24 = 2/3$. $ \frac{CE}{18} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $CE$: $ CE = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 $ см.

Ответ: $CE = 12$ см.

3.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через $F$ параллельно $BD$, с плоскостью $AA_1D$, выполним следующие шаги:

1. В плоскости грани $AA_1B_1B$ через точку $F$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$. Пусть эта прямая пересечет ребро $AB$ в точке $K$.

2. В плоскости основания $ABCD$ через полученную точку $K$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересечет ребро $AD$ в точке $P$. Точка $P$ принадлежит искомой плоскости $AA_1D$.

3. В плоскости боковой грани $AA_1D_1D$ через точку $P$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$.

4. Исходная прямая, проходящая через точку $F$ и параллельная $BD$, пересечет построенную в шаге 3 прямую. Точка их пересечения и является искомой точкой. Обозначим ее $Q$.

Обоснование: Построенная точка $Q$ лежит на прямой, проходящей через $F$ параллельно $BD$ (назовем ее l), по построению. Также точка $Q$ лежит на прямой $PQ$, которая параллельна $AA_1$. Так как точка $P \in AD$ и прямая $PQ \parallel AA_1$, вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $AA_1D$. Следовательно, точка $Q$ принадлежит плоскости $AA_1D$. Таким образом, $Q$ — точка пересечения прямой l и плоскости $AA_1D$.

Ответ: Искомая точка пересечения $Q$ построена согласно приведенному алгоритму.