Номер 3, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13). Точка $M$ принадлежит ребру $BB_1$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$.

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 14) плоскостью, проходящей через точки $T$, $F$ и $E$, принадлежащие ребрам $SA$, $AB$ и $BC$ соответственно.

3. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15) плоскостью, проходящей через вершины $C$ и $D$ и точку $K$, принадлежащую грани $AA_1B_1B$.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

1. Для построения прямой пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания призмы.

1. Найдем первую точку пересечения. Прямая $A_1M$ лежит в секущей плоскости $MA_1K$. Также прямая $A_1M$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. В этой же плоскости лежит прямая $AB$, которая принадлежит плоскости основания $ABC$. Поскольку прямые $A_1M$ и $AB$ лежат в одной плоскости ($AA_1B_1B$) и не параллельны (т.к. $M$ не совпадает с $B_1$), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$.
$P = A_1M \cap AB$.
Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $ABC$.
Так как точка $P$ лежит на прямой $A_1M$, она принадлежит плоскости $MA_1K$.
Следовательно, $P$ — первая общая точка двух плоскостей.

2. Найдем вторую точку пересечения. Аналогично, прямая $A_1K$ лежит в секущей плоскости $MA_1K$. Также прямая $A_1K$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. В этой же плоскости лежит прямая $AD$, которая принадлежит плоскости основания $ABC$. Прямые $A_1K$ и $AD$ лежат в одной плоскости ($AA_1D_1D$) и не параллельны (т.к. $K$ не совпадает с $D_1$), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$.
$Q = A_1K \cap AD$.
Так как точка $Q$ лежит на прямой $AD$, она принадлежит плоскости $ABC$.
Так как точка $Q$ лежит на прямой $A_1K$, она принадлежит плоскости $MA_1K$.
Следовательно, $Q$ — вторая общая точка двух плоскостей.

3. Прямая, проходящая через две найденные точки $P$ и $Q$, является линией пересечения плоскостей $ABC$ и $MA_1K$.
Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $A_1M$ и $AB$, а $Q$ — точка пересечения прямых $A_1K$ и $AD$.

2. Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $T$, $F$ и $E$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их.

1. Точки $T$ и $F$ лежат в плоскости грани $SAB$. Следовательно, отрезок $TF$ является одной из сторон сечения.

2. Точки $F$ и $E$ лежат в плоскости основания $ABC$. Проведем через них прямую $FE$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости основания. Продлим прямую $FE$ до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку их пересечения $P$.
$P = FE \cap AC$.

3. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $FE$) и плоскости грани $SAC$ (так как лежит на прямой $AC$). Точка $T$ также принадлежит плоскости грани $SAC$. Следовательно, прямая $TP$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $SAC$.

4. Прямая $TP$ пересекает ребро $SC$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$.
$G = TP \cap SC$.

5. Теперь у нас есть все вершины многоугольника сечения: $T$ на $SA$, $F$ на $AB$, $E$ на $BC$ и $G$ на $SC$. Последовательно соединяем эти точки отрезками: $TF$, $FE$, $EG$ и $GT$.

Полученный четырехугольник $TFEG$ и есть искомое сечение.
Ответ: Сечением является четырехугольник $TFEG$.

3. Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $C$, $D$ и точку $K$ на грани $AA_1B_1B$, выполним следующие действия.

1. Точки $C$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $CD$ является стороной искомого сечения.

2. Прямая $CD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. В основании призмы (если это параллелепипед или прямая призма с параллелограммом в основании) прямая $AB$ параллельна прямой $CD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $CD$ параллельна плоскости грани $AA_1B_1B$ ($CD \parallel AB$, $AB \subset (AA_1B_1)$ $\Rightarrow$ $CD \parallel (AA_1B_1)$).

3. По свойству: если плоскость (в нашем случае секущая плоскость) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($AA_1B_1B$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

4. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $CD$ (а значит и $AB$). Проведем в плоскости грани $AA_1B_1B$ через точку $K$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет боковые ребра $AA_1$ и $BB_1$ в точках, которые мы назовем $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ является стороной сечения.

5. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $C$, $D$, $P$ (на ребре $AA_1$) и $Q$ (на ребре $BB_1$). Соединим последовательно эти точки.

• $CD$ — пересечение с гранью $ABCD$.
• $DP$ — пересечение с гранью $AA_1D_1D$.
• $PQ$ — пересечение с гранью $AA_1B_1B$.
• $QC$ — пересечение с гранью $BB_1C_1C$.

Полученный четырехугольник $CDPQ$ является искомым сечением. Так как $PQ \parallel CD$, это сечение является трапецией.
Ответ: Сечением является четырехугольник (трапеция) $CDPQ$, где $P$ и $Q$ — точки пересечения прямой, проходящей через $K$ параллельно $AB$, с ребрами $AA_1$ и $BB_1$ соответственно.