Номер 5, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Параллельность прямой и плоскости

1. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ выбрали точку $E$. На отрезке $BE$ отметили точку $F$ так, что $BF : FE = 4 : 1$ (рис. 17). Постройте точку $M$ пересечения плоскости $AFD$ и прямой $CE$ и найдите длину отрезка $FM$, если $BC = 10$ см.

Рис. 17

2. На ребре $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MA_1 = 1 : 4$. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане $CD$ треугольника $ABC$ и проходящей через точки $B$ и $M$. В каком отношении эта плоскость делит ребро $CC_1$?

3. Трапеция $ABCD$ является основанием пирамиды $SABCD$ ($AD \parallel BC$). Известно, что $BC : AD = 1 : 4$. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. В каком отношении плоскость $DMK$ делит ребро $SC$?

1.

Построение точки M.
Точка $M$ является точкой пересечения прямой $CE$ и плоскости $AFD$. Это значит, что точка $M$ лежит как на прямой $CE$, так и в плоскости $AFD$.
Рассмотрим плоскости $(AFD)$ и $(EBC)$. Прямая $CE$ лежит в плоскости $(EBC)$. Точка $F$ лежит на отрезке $BE$, следовательно, точка $F$ также лежит в плоскости $(EBC)$. Так как по условию $F$ принадлежит плоскости $AFD$, то $F$ является общей точкой для обеих плоскостей.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AFD)$, а прямая $BC$ — в плоскости $(EBC)$. По свойству пересекающихся плоскостей, содержащих параллельные прямые, их линия пересечения параллельна этим прямым. Таким образом, линия пересечения плоскостей $(AFD)$ и $(EBC)$ проходит через их общую точку $F$ и параллельна $BC$ (и $AD$).
Точка $M$, принадлежащая одновременно прямой $CE$ и плоскости $(AFD)$, должна лежать на линии пересечения плоскостей $(EBC)$ и $(AFD)$. Следовательно, для построения точки $M$ нужно в плоскости $(EBC)$ провести через точку $F$ прямую, параллельную $BC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $CE$ и будет искомой точкой $M$.

Нахождение длины отрезка FM.
Рассмотрим треугольник $EBC$. В нем $F$ лежит на стороне $EB$, $M$ лежит на стороне $EC$, и по построению прямая $FM$ параллельна стороне $BC$.
Следовательно, треугольник $EFM$ подобен треугольнику $EBC$ по двум углам ($\angle E$ — общий, $\angle EFM = \angle EBC$ как соответственные при $FM \parallel BC$ и секущей $EB$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{FM}{BC} = \frac{EF}{EB}$.
По условию дано отношение $BF : FE = 4 : 1$. Пусть $FE = x$, тогда $BF = 4x$. Длина всего отрезка $BE$ равна $BF + FE = 4x + x = 5x$.
Найдем отношение $\frac{EF}{EB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$.
По условию $BC = 10$ см. Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{FM}{10} = \frac{1}{5}$.
Отсюда находим $FM$: $FM = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

2.

Построение сечения.
Пусть $\gamma$ — искомая плоскость сечения. По условию, $\gamma$ проходит через точки $B$ и $M$ и параллельна медиане $CD$ треугольника $ABC$. 1. Построим след плоскости $\gamma$ на плоскости основания $ABC$. Так как $\gamma \parallel CD$, то линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна $CD$. Эта линия проходит через точку $B$, принадлежащую обеим плоскостям. Проведем в плоскости $(ABC)$ через точку $B$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет прямую $AC$ в некоторой точке $K$. 2. Рассмотрим $\triangle ABK$. Отрезок $CD$ соединяет точку $C$ на стороне $AK$ с серединой $D$ стороны $AB$. Так как $CD \parallel BK$, то по теореме Фалеса (или по признаку средней линии) $C$ является серединой стороны $AK$. То есть $AC = CK$. 3. Теперь у нас есть три точки $M, B, K$, определяющие плоскость сечения $\gamma$. Построим сечение призмы этой плоскостью. 4. Сечение пересекает грань $ABB_1A_1$ по отрезку $MB$. 5. Сечение пересекает грань $ACC_1A_1$. Линия пересечения проходит через точки $M$ на ребре $AA_1$ и $K$ на прямой $AC$. Проведем прямую $MK$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ является частью сечения. 6. Сечение пересекает грань $BCC_1B_1$ по отрезку, соединяющему точки $B$ и $N$. 7. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $BMN$.

Нахождение отношения, в котором плоскость делит ребро CC₁.
Точка $N$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $CC_1$. Все эти элементы лежат в плоскости грани $ACC_1A_1$.
Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1$. В ней лежат параллельные прямые $AA_1$ и $CC_1$. Точки $M, N, K$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники $\triangle KNC$ и $\triangle KMA$. Угол при вершине $K$ у них общий. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, то прямые $AM$ и $CN$, лежащие на них, также параллельны. Следовательно, $\angle KCN$ и $\angle KAM$ не обязательно равны, но $\angle KNC = \angle KMA$ как соответственные углы при параллельных прямых $CN$ и $AM$ и секущей $KN$. Таким образом, $\triangle KNC \sim \triangle KMA$ по двум углам.
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{CN}{AM} = \frac{KC}{KA}$.
Из построения мы знаем, что $C$ — середина $AK$, поэтому $KA = 2 KC$. Отсюда $\frac{KC}{KA} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\frac{CN}{AM} = \frac{1}{2}$, то есть $CN = \frac{1}{2} AM$.
По условию $AM : MA_1 = 1 : 4$, значит $AM = \frac{1}{5} AA_1$. В призме длины боковых ребер равны, поэтому $AA_1 = CC_1$. Тогда $AM = \frac{1}{5} CC_1$.
Подставим это в выражение для $CN$: $CN = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} CC_1\right) = \frac{1}{10} CC_1$.
Теперь найдем длину $NC_1$: $NC_1 = CC_1 - CN = CC_1 - \frac{1}{10} CC_1 = \frac{9}{10} CC_1$.
Искомое отношение: $CN : NC_1 = \frac{1}{10} CC_1 : \frac{9}{10} CC_1 = 1 : 9$.

Ответ: 1:9.

3.

Пусть плоскость $DMK$ пересекает ребро $SC$ в точке $P$. Требуется найти отношение $SP:PC$.
Поскольку $M$ и $K$ — середины ребер $SA$ и $SB$, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $SAB$. Следовательно, $MK \parallel AB$.
Плоскость $(DMK)$ содержит прямую $MK$, а плоскость основания $(ABCD)$ содержит прямую $AB$. Так как $MK \parallel AB$, то линия пересечения плоскости $(DMK)$ с плоскостью основания $(ABCD)$ проходит через их общую точку $D$ и параллельна $AB$.
Проведем в плоскости основания прямую через точку $D$ параллельно $AB$. Пусть эта прямая пересекает прямую $BC$ в точке $E$. Рассмотрим четырехугольник $ABED$. В нем $DE \parallel AB$ по построению и $AD \parallel BE$ (так как $AD \parallel BC$ по условию). Следовательно, $ABED$ — параллелограмм.
Из этого следует, что $BE = AD$.
По условию $BC:AD = 1:4$. Пусть $BC = x$, тогда $AD = 4x$, и, соответственно, $BE = 4x$.
Так как $C$ лежит на отрезке $BE$ (или его продолжении, в зависимости от формы трапеции, но в данном контексте $C$ между $B$ и $E$), то $CE = BE - BC = 4x - x = 3x$. Таким образом, $BE/EC = 4x/3x = 4/3$.
Теперь рассмотрим плоскость боковой грани $SBC$. Искомая точка $P$ лежит на ребре $SC$. Она также лежит в секущей плоскости $(DMK)$. Найдем линию пересечения плоскостей $(DMK)$ и $(SBC)$. Точка $K$ (середина $SB$) лежит в обеих плоскостях. Точка $E$ (на прямой $BC$) также лежит в обеих плоскостях. Следовательно, прямая $KE$ является линией их пересечения.
Точка $P$ является точкой пересечения ребра $SC$ и секущей плоскости, а значит, $P$ — это точка пересечения прямых $SC$ и $KE$.
Для нахождения отношения $SP:PC$ применим теорему Менелая к треугольнику $SBC$ и секущей $KPE$.
Согласно теореме Менелая: $\frac{SK}{KB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CP}{PS} = 1$.
Подставим известные значения:

• $K$ — середина $SB$, поэтому $\frac{SK}{KB} = 1$.
• Мы нашли, что $\frac{BE}{EC} = \frac{4}{3}$.

Получаем уравнение: $1 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{CP}{PS} = 1$.
Отсюда $\frac{CP}{PS} = \frac{3}{4}$.
Следовательно, искомое отношение $SP:PC = 4:3$.

Ответ: 4:3.