Страница 18 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Параллельность прямой и плоскости

1. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ выбрали точку $E$. На отрезке $BE$ отметили точку $F$ так, что $BF : FE = 4 : 1$ (рис. 17). Постройте точку $M$ пересечения плоскости $AFD$ и прямой $CE$ и найдите длину отрезка $FM$, если $BC = 10$ см.

Рис. 17

2. На ребре $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MA_1 = 1 : 4$. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане $CD$ треугольника $ABC$ и проходящей через точки $B$ и $M$. В каком отношении эта плоскость делит ребро $CC_1$?

3. Трапеция $ABCD$ является основанием пирамиды $SABCD$ ($AD \parallel BC$). Известно, что $BC : AD = 1 : 4$. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. В каком отношении плоскость $DMK$ делит ребро $SC$?

1.

Построение точки M.
Точка `M` является точкой пересечения прямой `CE` и плоскости `AFD`. Это значит, что точка `M` лежит как на прямой `CE`, так и в плоскости `AFD`.
Рассмотрим плоскости `(AFD)` и `(EBC)`. Прямая `CE` лежит в плоскости `(EBC)`. Точка `F` лежит на отрезке `BE`, следовательно, точка `F` также лежит в плоскости `(EBC)`. Так как по условию `F` принадлежит плоскости `AFD`, то `F` является общей точкой для обеих плоскостей.
Поскольку `ABCD` — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть `AD \parallel BC`. Прямая `AD` лежит в плоскости `(AFD)`, а прямая `BC` — в плоскости `(EBC)`. По свойству пересекающихся плоскостей, содержащих параллельные прямые, их линия пересечения параллельна этим прямым. Таким образом, линия пересечения плоскостей `(AFD)` и `(EBC)` проходит через их общую точку `F` и параллельна `BC` (и `AD`).
Точка `M`, принадлежащая одновременно прямой `CE` и плоскости `(AFD)`, должна лежать на линии пересечения плоскостей `(EBC)` и `(AFD)`. Следовательно, для построения точки `M` нужно в плоскости `(EBC)` провести через точку `F` прямую, параллельную `BC`. Точка пересечения этой прямой с прямой `CE` и будет искомой точкой `M`.

Нахождение длины отрезка FM.
Рассмотрим треугольник `EBC`. В нем `F` лежит на стороне `EB`, `M` лежит на стороне `EC`, и по построению прямая `FM` параллельна стороне `BC`.
Следовательно, треугольник `EFM` подобен треугольнику `EBC` по двум углам (`\angle E` — общий, `\angle EFM = \angle EBC` как соответственные при `FM \parallel BC` и секущей `EB`).
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: `$\frac{FM}{BC} = \frac{EF}{EB}$`.
По условию дано отношение `BF : FE = 4 : 1`. Пусть `FE = x`, тогда `BF = 4x`. Длина всего отрезка `BE` равна `BF + FE = 4x + x = 5x`.
Найдем отношение `$\frac{EF}{EB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$`.
По условию `BC = 10` см. Подставим известные значения в пропорцию: `$\frac{FM}{10} = \frac{1}{5}$`.
Отсюда находим `FM`: `$FM = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$` см.

Ответ: 2 см.

2.

Построение сечения.
Пусть `\gamma` — искомая плоскость сечения. По условию, `\gamma` проходит через точки `B` и `M` и параллельна медиане `CD` треугольника `ABC`. 1. Построим след плоскости `\gamma` на плоскости основания `ABC`. Так как `\gamma \parallel CD`, то линия пересечения плоскости `\gamma` с плоскостью `(ABC)` должна быть параллельна `CD`. Эта линия проходит через точку `B`, принадлежащую обеим плоскостям. Проведем в плоскости `(ABC)` через точку `B` прямую, параллельную `CD`. Эта прямая пересечет прямую `AC` в некоторой точке `K`. 2. Рассмотрим `\triangle ABK`. Отрезок `CD` соединяет точку `C` на стороне `AK` с серединой `D` стороны `AB`. Так как `CD \parallel BK`, то по теореме Фалеса (или по признаку средней линии) `C` является серединой стороны `AK`. То есть `AC = CK`. 3. Теперь у нас есть три точки `M, B, K`, определяющие плоскость сечения `\gamma`. Построим сечение призмы этой плоскостью. 4. Сечение пересекает грань `ABB_1A_1` по отрезку `MB`. 5. Сечение пересекает грань `ACC_1A_1`. Линия пересечения проходит через точки `M` на ребре `AA_1` и `K` на прямой `AC`. Проведем прямую `MK`. Эта прямая пересечет ребро `CC_1` в некоторой точке `N`. Отрезок `MN` является частью сечения. 6. Сечение пересекает грань `BCC_1B_1` по отрезку, соединяющему точки `B` и `N`. 7. Таким образом, искомое сечение — это треугольник `BMN`.

Нахождение отношения, в котором плоскость делит ребро CC₁.
Точка `N` является точкой пересечения прямых `MK` и `CC_1`. Все эти элементы лежат в плоскости грани `ACC_1A_1`.
Рассмотрим плоскость `ACC_1A_1`. В ней лежат параллельные прямые `AA_1` и `CC_1`. Точки `M, N, K` лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники `\triangle KNC` и `\triangle KMA`. Угол при вершине `K` у них общий. Так как `AA_1 \parallel CC_1`, то прямые `AM` и `CN`, лежащие на них, также параллельны. Следовательно, `\angle KCN` и `\angle KAM` не обязательно равны, но `\angle KNC = \angle KMA` как соответственные углы при параллельных прямых `CN` и `AM` и секущей `KN`. Таким образом, `\triangle KNC \sim \triangle KMA` по двум углам.
Из подобия следует отношение сторон: `$\frac{CN}{AM} = \frac{KC}{KA}$`.
Из построения мы знаем, что `C` — середина `AK`, поэтому `$KA = 2 KC$`. Отсюда `$\frac{KC}{KA} = \frac{1}{2}$`.
Следовательно, `$\frac{CN}{AM} = \frac{1}{2}$`, то есть `$CN = \frac{1}{2} AM$`.
По условию `AM : MA_1 = 1 : 4`, значит `$AM = \frac{1}{5} AA_1$`. В призме длины боковых ребер равны, поэтому `$AA_1 = CC_1$`. Тогда `$AM = \frac{1}{5} CC_1$`.
Подставим это в выражение для `CN`: `$CN = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} CC_1\right) = \frac{1}{10} CC_1$`.
Теперь найдем длину `NC_1`: `$NC_1 = CC_1 - CN = CC_1 - \frac{1}{10} CC_1 = \frac{9}{10} CC_1$`.
Искомое отношение: `$CN : NC_1 = \frac{1}{10} CC_1 : \frac{9}{10} CC_1 = 1 : 9$`.

Ответ: 1:9.

3.

Пусть плоскость `DMK` пересекает ребро `SC` в точке `P`. Требуется найти отношение `SP:PC`.
Поскольку `M` и `K` — середины ребер `SA` и `SB`, отрезок `MK` является средней линией треугольника `SAB`. Следовательно, `$MK \parallel AB$`.
Плоскость `(DMK)` содержит прямую `MK`, а плоскость основания `(ABCD)` содержит прямую `AB`. Так как `$MK \parallel AB$`, то линия пересечения плоскости `(DMK)` с плоскостью основания `(ABCD)` проходит через их общую точку `D` и параллельна `AB`.
Проведем в плоскости основания прямую через точку `D` параллельно `AB`. Пусть эта прямая пересекает прямую `BC` в точке `E`. Рассмотрим четырехугольник `ABED`. В нем `$DE \parallel AB$` по построению и `$AD \parallel BE$` (так как `AD \parallel BC` по условию). Следовательно, `ABED` — параллелограмм.
Из этого следует, что `BE = AD`.
По условию `BC:AD = 1:4`. Пусть `BC = x`, тогда `AD = 4x`, и, соответственно, `BE = 4x`.
Так как `C` лежит на отрезке `BE` (или его продолжении, в зависимости от формы трапеции, но в данном контексте `C` между `B` и `E`), то `CE = BE - BC = 4x - x = 3x`. Таким образом, `BE/EC = 4x/3x = 4/3`.
Теперь рассмотрим плоскость боковой грани `SBC`. Искомая точка `P` лежит на ребре `SC`. Она также лежит в секущей плоскости `(DMK)`. Найдем линию пересечения плоскостей `(DMK)` и `(SBC)`. Точка `K` (середина `SB`) лежит в обеих плоскостях. Точка `E` (на прямой `BC`) также лежит в обеих плоскостях. Следовательно, прямая `KE` является линией их пересечения.
Точка `P` является точкой пересечения ребра `SC` и секущей плоскости, а значит, `P` — это точка пересечения прямых `SC` и `KE`.
Для нахождения отношения `SP:PC` применим теорему Менелая к треугольнику `SBC` и секущей `KPE`.
Согласно теореме Менелая: `$\frac{SK}{KB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CP}{PS} = 1$`.
Подставим известные значения:

• `K` — середина `SB`, поэтому `$\frac{SK}{KB} = 1$`.
• Мы нашли, что `$\frac{BE}{EC} = \frac{4}{3}$`.

Получаем уравнение: `$1 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{CP}{PS} = 1$`.
Отсюда `$\frac{CP}{PS} = \frac{3}{4}$`.
Следовательно, искомое отношение `$SP:PC = 4:3$`.

Ответ: 4:3.