Страница 22 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

1. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, длины которых относятся как $25 : 26$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $MN$ и $MK$ равны соответственно $14$ см и $20$ см.

2. Через вершину $D$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $AC$. Расстояние между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$ равно $6$ см, а проекции отрезков $AD$ и $DC$ на эту плоскость равны $\sqrt{13}$ см и $2\sqrt{7}$ см соответственно. Найдите диагональ $BD$ параллелограмма, если диагональ $AC$ равна $14$ см.

3. На ребре $SB$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $K$ так, что $SK : KB = 3 : 2$. Известно, что $AB = AC$, $SB = SC = 13$ см, $BC = 24$ см. Найдите расстояние между прямыми $AK$ и $BC$.

1.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$, тогда $h = MH$.

$MN$ и $MK$ - наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\alpha$. $HN$ и $HK$ - их проекции на эту плоскость. По условию, длины проекций равны 14 см и 20 см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MHN$ и $\triangle MHK$ (углы при вершине $H$ прямые). По теореме Пифагора:

$MN^2 = MH^2 + HN^2 = h^2 + HN^2$

$MK^2 = MH^2 + HK^2 = h^2 + HK^2$

Длины наклонных относятся как $25:26$. Пусть $MN = 25x$ и $MK = 26x$, где $x$ - коэффициент пропорциональности. Большей наклонной соответствует большая проекция. Следовательно, проекция наклонной $MN$ равна 14 см, а проекция наклонной $MK$ равна 20 см. Если бы было наоборот, то $MN^2 = h^2+20^2$ и $MK^2=h^2+14^2$. Тогда $(25x)^2 > (26x)^2$, что невозможно. Итак, $HN = 14$ см и $HK = 20$ см.

Подставим известные значения в уравнения:

$(25x)^2 = h^2 + 14^2 \implies 625x^2 = h^2 + 196$

$(26x)^2 = h^2 + 20^2 \implies 676x^2 = h^2 + 400$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Вычтем первое уравнение из второго:

$676x^2 - 625x^2 = (h^2 + 400) - (h^2 + 196)$

$51x^2 = 204$

$x^2 = \frac{204}{51} = 4$

$x = 2$ (так как длина должна быть положительной).

Теперь найдем $h$. Подставим $x^2 = 4$ в первое уравнение:

$625 \cdot 4 = h^2 + 196$

$2500 = h^2 + 196$

$h^2 = 2500 - 196 = 2304$

$h = \sqrt{2304} = 48$ см.

Ответ: 48 см.

2.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через вершину $D$ и параллельна диагонали $AC$. Это означает, что прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью - это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Расстояние между $AC$ и $\alpha$ равно 6 см. Опустим перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ из точек $A$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AA_1 = CC_1 = 6$ см.

Проекцией отрезка $AD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1D$ (поскольку точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с самой точкой). Аналогично, проекцией отрезка $DC$ является отрезок $C_1D$.

По условию, длины проекций равны $|A_1D| = \sqrt{13}$ см и $|C_1D| = 2\sqrt{7}$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1D$ и $\triangle CC_1D$ (углы при вершинах $A_1$ и $C_1$ прямые). По теореме Пифагора найдем стороны параллелограмма $AD$ и $DC$:

$AD^2 = AA_1^2 + A_1D^2 = 6^2 + (\sqrt{13})^2 = 36 + 13 = 49 \implies AD = 7$ см.

$DC^2 = CC_1^2 + C_1D^2 = 6^2 + (2\sqrt{7})^2 = 36 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64 \implies DC = 8$ см.

Теперь мы знаем длины сторон параллелограмма ($AD=BC=7$ см, $DC=AB=8$ см) и длину одной из диагоналей ($AC = 14$ см). Нужно найти длину другой диагонали, $BD$.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AD^2 + DC^2)$

Подставим известные значения:

$14^2 + BD^2 = 2(7^2 + 8^2)$

$196 + BD^2 = 2(49 + 64)$

$196 + BD^2 = 2(113)$

$196 + BD^2 = 226$

$BD^2 = 226 - 196 = 30$

$BD = \sqrt{30}$ см.

Ответ: $\sqrt{30}$ см.

3.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AK$ и $BC$ воспользуемся методом ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Рассмотрим тетраэдр $SABC$. В треугольнике $SBC$ стороны $SB=SC=13$ см, значит, он равнобедренный. Пусть $M$ - середина основания $BC$. Тогда $BM = MC = 24/2 = 12$ см. Медиана $SM$ является также высотой, т.е. $SM \perp BC$. По теореме Пифагора в $\triangle SMB$ найдем $SM$: $SM^2 = SB^2 - BM^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$, откуда $SM = 5$ см.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=AC$, значит, он также равнобедренный. Медиана $AM$ к основанию $BC$ является и высотой, т.е. $AM \perp BC$.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $AM$ в плоскости $SAM$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $SAM$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их ортогональными проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Спроецируем прямые $AK$ и $BC$ на плоскость $SAM$.

Так как $BC \perp (SAM)$, вся прямая $BC$ проецируется в точку $M$.

Точка $A$ лежит в плоскости $SAM$, поэтому ее проекция - сама точка $A$. Точка $K$ лежит на ребре $SB$. Проекцией ребра $SB$ на плоскость $SAM$ является отрезок $SM$. Следовательно, проекция точки $K$, назовем ее $K'$, будет лежать на отрезке $SM$. По теореме о проекциях (подобие треугольников), точка $K'$ делит отрезок $SM$ в том же отношении, в каком точка $K$ делит отрезок $SB$. $SK' : K'M = SK : KB = 3 : 2$.

Таким образом, прямая $AK$ проецируется в прямую $AK'$, а прямая $BC$ - в точку $M$. Искомое расстояние между $AK$ и $BC$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $AK'$ в плоскости $SAM$.

Рассмотрим геометрию в плоскости $SAM$. Пусть $AM=a$ и $SA=b$. В $\triangle AMB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AM^2 + MB^2 = a^2+12^2 = a^2+144$. Поместим тетраэдр в систему координат. Пусть проекция $S$ на плоскость $ABC$ это точка $H$, которая лежит на прямой $AM$. Из $SB=13$ следует, что $SH^2+HB^2=169$. $HB^2=HM^2+MB^2=HM^2+144$. Тогда $SH^2+HM^2+144=169$, откуда $SH^2+HM^2=25$. Но $SM^2=25$, значит $SM^2=SH^2+HM^2$, что означает, что $\triangle SHM$ прямоугольный с гипотенузой $SM$. Далее, $SA^2=SH^2+HA^2$. В $\triangle SAM$ по теореме косинусов $SA^2=AM^2+SM^2-2AM \cdot SM \cos\angle SMA$. Оказывается, что $SA^2+AM^2=SM^2$. Действительно, $SA^2=SH^2+HA^2$ и $AM=a$. $SA^2+AM^2 = SH^2+HA^2+a^2$. Это равно $SM^2=25$ только если $HA^2+a^2=HM^2$. Это означает, что $SA \perp AM$.

Итак, $\triangle SAM$ - прямоугольный с гипотенузой $SM=5$. Пусть $AM=a, SA=b$. Тогда $a^2+b^2=25$.

Задача свелась к планиметрической: в прямоугольном треугольнике $SAM$ ($ \angle A=90^\circ $) на гипотенузе $SM$ взята точка $K'$ так, что $MK' = \frac{2}{5}SM = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$. Найти расстояние от вершины $M$ до прямой $AK'$.

Введем в плоскости $SAM$ систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ax$ направим вдоль $AM$, ось $Ay$ - вдоль $SA$. Координаты вершин: $A(0,0)$, $M(a,0)$, $S(0,b)$. Найдем координаты точки $K'$. Вектор $\vec{MS} = (-a, b)$. Вектор $\vec{MK'} = \frac{2}{5}\vec{MS} = (-\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5})$. Точка $K' = M + \vec{MK'} = (a,0) + (-\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5}) = (\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5})$.

Прямая $AK'$ проходит через начало координат $A(0,0)$ и точку $K'(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5})$. Ее уравнение: $y = \frac{2b/5}{3a/5}x \implies y = \frac{2b}{3a}x$, или в общем виде $2bx - 3ay = 0$.

Расстояние $d$ от точки $M(a,0)$ до прямой $2bx - 3ay = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|2b(a) - 3a(0)|}{\sqrt{(2b)^2 + (-3a)^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{4b^2 + 9a^2}}$

Используем соотношение $a^2+b^2=25$, откуда $b = \sqrt{25-a^2}$.

$d(a) = \frac{2a\sqrt{25-a^2}}{\sqrt{4(25-a^2) + 9a^2}} = \frac{2a\sqrt{25-a^2}}{\sqrt{100 - 4a^2 + 9a^2}} = \frac{2a\sqrt{25-a^2}}{\sqrt{100 + 5a^2}}$

Результат зависит от параметра $a=AM$, который не задан в условии. Это означает, что либо в условии задачи есть ошибка, либо подразумевается найти, например, максимально возможное расстояние. Найдем максимум функции $d(a)$. Это эквивалентно нахождению максимума функции $d^2(a)$ при $a \in (0,5)$.

$f(x) = \frac{4x(25-x)}{100+5x}$, где $x=a^2$. Производная этой функции обращается в ноль при $x=10$.

При $a^2=10$ значение расстояния будет максимальным. Подставим $a^2=10$ в формулу для квадрата расстояния:

$d^2 = \frac{4 \cdot 10 (25-10)}{100 + 5 \cdot 10} = \frac{40 \cdot 15}{150} = \frac{600}{150} = 4$.

$d = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Самостоятельная работа № 12

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

2. Из точки $K$, не принадлежащей плоскости угла $ABC$, проведены перпендикуляры $KD$ и $KE$ к его сторонам. Известно, что $KD = KE = 2\sqrt{13}$ см, $KB = 10$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $ABC$.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB : BC = 1 : 3$. На ребре $BC$ отметили точку $K$ так, что прямая $AK$ перпендикулярна прямой $B_1D$. Найдите отношение $BK : BC$.

1. Пусть данный правильный треугольник будет $ABC$ со стороной $a$. Центр $O$ вписанной окружности в правильном треугольнике также является его центроидом (точкой пересечения медиан и высот).
По условию, к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$ из точки $O$, значит $OD \perp (ABC)$. Длина $OD = 6$ см.
Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника (например, стороны $AC$) — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, $DH \perp AC$ и $DH = 14$ см.
Рассмотрим отрезок $OH$. Так как $OD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $DH$ — наклонная к этой плоскости, то $OH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$.
Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой в плоскости ($AC$), то и её проекция ($OH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $OH \perp AC$.
Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, а $OH \perp AC$, то $OH$ — это радиус $r$ вписанной окружности.
Рассмотрим треугольник $DOH$. Так как $OD \perp (ABC)$, а $OH$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $OD \perp OH$. Значит, треугольник $DOH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O$.
По теореме Пифагора: $DH^2 = OD^2 + OH^2$.
Подставим известные значения:
$14^2 = 6^2 + r^2$
$196 = 36 + r^2$
$r^2 = 196 - 36 = 160$
$r = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.
Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, имеет вид:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Выразим из этой формулы сторону $a$:
$a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{30}$ см.
Ответ: $8\sqrt{30}$ см.

2. Пусть $KO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на плоскость угла $ABC$. Длина этого перпендикуляра $KO$ и является искомым расстоянием.
По условию, из точки $K$ проведены перпендикуляры $KD$ и $KE$ к сторонам угла, то есть $KD \perp AB$ и $KE \perp BC$.
$OD$ и $OE$ являются проекциями наклонных $KD$ и $KE$ на плоскость $ABC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости, то и её проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $OD \perp AB$ и $OE \perp BC$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $KOD$ и $KOE$ (углы при вершине $O$ прямые, так как $KO \perp (ABC)$). У них общая сторона $KO$. По теореме Пифагора:
$KD^2 = KO^2 + OD^2$
$KE^2 = KO^2 + OE^2$
Так как по условию $KD = KE = 2\sqrt{13}$, то $KD^2 = KE^2 = (2\sqrt{13})^2 = 52$.
Следовательно, $KO^2 + OD^2 = KO^2 + OE^2$, откуда $OD = OE$.
Это означает, что точка $O$ в плоскости $ABC$ равноудалена от сторон угла $ABC$, и, значит, лежит на его биссектрисе.
Угол $\angle DBO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
В плоскости $ABC$ рассмотрим прямоугольный треугольник $BDO$ ($\angle ODB = 90^\circ$). В нём $OD = BO \cdot \sin(\angle DBO) = BO \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} BO$. Отсюда $BO = 2 \cdot OD$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KOB$ ($\angle KOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$KB^2 = KO^2 + BO^2$. По условию $KB = 10$ см.
$100 = KO^2 + BO^2$.
Мы получили систему уравнений: $\begin{cases} 52 = KO^2 + OD^2 \\ 100 = KO^2 + BO^2 \\ BO = 2 \cdot OD \end{cases}$
Подставим выражение для $BO$ во второе уравнение:
$100 = KO^2 + (2 \cdot OD)^2 = KO^2 + 4 \cdot OD^2$.
Теперь решим систему из двух уравнений: $\begin{cases} KO^2 + OD^2 = 52 \\ KO^2 + 4 \cdot OD^2 = 100 \end{cases}$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем:
$(KO^2 + 4 \cdot OD^2) - (KO^2 + OD^2) = 100 - 52$
$3 \cdot OD^2 = 48 \Rightarrow OD^2 = 16 \Rightarrow OD = 4$ см.
Подставим $OD^2 = 16$ в первое уравнение:
$KO^2 + 16 = 52 \Rightarrow KO^2 = 36 \Rightarrow KO = 6$ см.
Ответ: 6 см.

3. Для решения задачи используем метод координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BA$, ось $Oy$ вдоль ребра $BC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$.
Пусть длина ребра $AB$ равна $x$. Из условия $AB : BC = 1 : 3$ следует, что длина ребра $BC$ равна $3x$. Пусть длина ребра $BB_1$ равна $h$.
Определим координаты нужных нам точек:
$B(0, 0, 0)$
$A(x, 0, 0)$
$C(0, 3x, 0)$
$B_1(0, 0, h)$
$D$: Вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$. $\vec{BC} = C - B = (0, 3x, 0)$. Тогда $D = A + \vec{BC} = (x, 0, 0) + (0, 3x, 0) = (x, 3x, 0)$.
Точка $K$ лежит на ребре $BC$. Её координаты будут $K(0, y_K, 0)$, где $y_K$ — это длина отрезка $BK$. Так как $K$ лежит на отрезке $BC$, $0 \le y_K \le 3x$.
Найдём координаты векторов $\vec{AK}$ и $\vec{B_1D}$:
$\vec{AK} = K - A = (0, y_K, 0) - (x, 0, 0) = (-x, y_K, 0)$.
$\vec{B_1D} = D - B_1 = (x, 3x, 0) - (0, 0, h) = (x, 3x, -h)$.
По условию, прямая $AK$ перпендикулярна прямой $B_1D$. Условие перпендикулярности прямых — равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов:
$\vec{AK} \cdot \vec{B_1D} = 0$
$(-x, y_K, 0) \cdot (x, 3x, -h) = 0$
$(-x) \cdot x + y_K \cdot (3x) + 0 \cdot (-h) = 0$
$-x^2 + 3xy_K = 0$
$x(3y_K - x) = 0$
Так как $x = AB$ — это длина ребра, то $x \ne 0$. Следовательно:
$3y_K - x = 0 \Rightarrow 3y_K = x \Rightarrow y_K = \frac{x}{3}$.
Мы нашли, что $BK = y_K = \frac{x}{3}$. Длина ребра $BC$ равна $3x$. Искомое отношение:
$\frac{BK}{BC} = \frac{x/3}{3x} = \frac{x}{9x} = \frac{1}{9}$.
Таким образом, отношение $BK : BC = 1 : 9$.
Ответ: $1:9$.