Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Параллельность плоскостей

1. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Плоскость, параллельная плоскости $ASD$, пересекает рёбра $SC, SB$ и $AB$ в точках $E, K$ и $P$ соответственно. Известно, что $SE : EC = 2 : 1, AB = 18$ см. Найдите отрезки $BP$ и $AP$.

2. Точки $D$ и $D_1$ лежат по разные стороны от плоскости $\beta$. Точки $F, F_1, E$ и $E_1$ лежат в плоскости $\beta$ (рис. 18). Известно, что $DE \parallel D_1E_1, DF \parallel D_1F_1, DF : D_1F_1 = 3 : 2, EF = 15$ см.

1) Докажите, что прямые $DD_1, EE_1$ и $FF_1$ пересекаются в одной точке.

2) Найдите отрезок $E_1F_1$.

3. На рёбрах $A_1B_1$ и $A_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ соответственно. На грани $ABC$ отметили точку $P$ (рис. 19). Постройте сечение призмы плоскостью $MPK$.

Рис. 18

Рис. 19

1.

Пусть секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ASD)$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает ребра $SC$, $SB$ и $AB$ в точках $E$, $K$ и $P$ соответственно. Основание пирамиды $ABCD$ – параллелограмм, следовательно, $AD \parallel BC$.

1. Рассмотрим плоскость $(SBC)$, содержащую прямую $BC$. Так как $AD \parallel BC$, то плоскость $(ASD)$ и прямая $BC$ не пересекаются в рамках грани $SBC$. Если две параллельные плоскости ($(ASD)$ и $\alpha$) пересекаются третьей плоскостью ($(SBC)$), то линии их пересечения параллельны. Плоскость $(ASD)$ пересекает плоскость $(SBC)$ по прямой, проходящей через точку $S$ и параллельной $AD$ (и $BC$). Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(SBC)$ по прямой $EK$. Следовательно, $EK \parallel AD$, а так как $AD \parallel BC$, то $EK \parallel BC$.

2. В плоскости $(SBC)$ рассмотрим $\triangle SCB$. Так как $EK \parallel BC$, то $\triangle SEK \sim \triangle SCB$ по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: $$ \frac{SE}{SC} = \frac{SK}{SB} $$ По условию дано, что $SE : EC = 2 : 1$. Тогда $SC = SE + EC$. Если принять $SE = 2x$, а $EC = x$, то $SC = 3x$. $$ \frac{SE}{SC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $$ Следовательно, $\frac{SK}{SB} = \frac{2}{3}$.

3. Теперь рассмотрим плоскость $(SAB)$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ASD)$, то их линии пересечения с плоскостью $(SAB)$ также параллельны. Плоскость $(ASD)$ пересекает $(SAB)$ по прямой $SA$. Плоскость $\alpha$ пересекает $(SAB)$ по прямой $KP$. Таким образом, $KP \parallel SA$.

4. В плоскости $(SAB)$ рассмотрим $\triangle SAB$. Так как $KP \parallel SA$, то $\triangle BKP \sim \triangle BSA$ по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: $$ \frac{BP}{BA} = \frac{BK}{BS} $$ Из шага 2 мы знаем, что $\frac{SK}{SB} = \frac{2}{3}$. Тогда $BK = SB - SK = SB - \frac{2}{3}SB = \frac{1}{3}SB$. Отсюда получаем отношение: $$ \frac{BK}{BS} = \frac{\frac{1}{3}SB}{SB} = \frac{1}{3} $$

5. Подставим это значение в соотношение для отрезков основания: $$ \frac{BP}{BA} = \frac{1}{3} $$ По условию $AB = 18$ см. $$ BP = \frac{1}{3} \cdot BA = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6 \text{ см} $$ Найдем отрезок $AP$: $$ AP = AB - BP = 18 - 6 = 12 \text{ см} $$ Ответ: $BP = 6$ см, $AP = 12$ см.

2.

1) Докажите, что прямые $DD_1, EE_1$ и $FF_1$ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим прямые $DE$ и $D_1E_1$. По условию $DE \parallel D_1E_1$. Две параллельные прямые определяют единственную плоскость, обозначим ее $\gamma_1$. В этой плоскости лежат точки $D, E, D_1, E_1$, а значит, и прямые $DD_1$ и $EE_1$. Так как точки $D$ и $D_1$ лежат по разные стороны от плоскости $\beta$, а прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\beta$, то прямые $DD_1$ и $EE_1$ не параллельны и пересекаются в некоторой точке $O$.

Аналогично, рассмотрим прямые $DF$ и $D_1F_1$. По условию $DF \parallel D_1F_1$. Они определяют плоскость $\gamma_2$, в которой лежат прямые $DD_1$ и $FF_1$. По той же причине эти прямые не параллельны и пересекаются в некоторой точке $O'$.

Нам нужно доказать, что точки $O$ и $O'$ совпадают, и что прямая $EE_1$ также проходит через эту точку.

Рассмотрим три плоскости: $(DEE_1D_1)$, $(DFF_1D_1)$ и $\beta$.
Плоскость $(DEE_1D_1)$ и $(DFF_1D_1)$ пересекаются по прямой $DD_1$.
Плоскость $(DEE_1D_1)$ и $\beta$ пересекаются по прямой $EE_1$.
Плоскость $(DFF_1D_1)$ и $\beta$ пересекаются по прямой $FF_1$.

Согласно теореме о трех плоскостях, три линии их попарного пересечения ($DD_1, EE_1, FF_1$) либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке.
Прямые $EE_1$ и $FF_1$ лежат в плоскости $\beta$. Прямая $DD_1$ пересекает плоскость $\beta$, так как точки $D$ и $D_1$ находятся по разные стороны от нее. Следовательно, прямая $DD_1$ не может быть параллельна прямым $EE_1$ и $FF_1$.
Поскольку прямые не параллельны, они должны пересекаться в одной точке. Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок $E_1F_1$.

Пусть $O$ — точка пересечения прямых $DD_1, EE_1, FF_1$.
Рассмотрим плоскость $(DFF_1D_1)$. В ней лежат треугольники $\triangle ODF$ и $\triangle OD_1F_1$.
Так как $DF \parallel D_1F_1$, то $\angle ODF = \angle OD_1F_1$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DF, D_1F_1$ и секущей $DD_1$). Угол при вершине $O$ у них общий (вертикальные углы). Следовательно, $\triangle ODF \sim \triangle OD_1F_1$ по двум углам.

Из подобия следует: $$ \frac{OD}{OD_1} = \frac{OF}{OF_1} = \frac{DF}{D_1F_1} $$ По условию $DF:D_1F_1 = 3:2$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{2}$. $$ \frac{OD}{OD_1} = \frac{3}{2} $$

Теперь рассмотрим плоскость $(DEE_1D_1)$ и треугольники $\triangle ODE$ и $\triangle OD_1E_1$. Аналогично, так как $DE \parallel D_1E_1$, эти треугольники подобны, и $$ \frac{OD}{OD_1} = \frac{OE}{OE_1} = \frac{DE}{D_1E_1} $$ Из этого следует, что $\frac{DE}{D_1E_1} = \frac{OD}{OD_1} = \frac{3}{2}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle D_1E_1F_1$.
У них есть две пары пропорциональных сторон: $\frac{DF}{D_1F_1} = \frac{3}{2}$ и $\frac{DE}{D_1E_1} = \frac{3}{2}$.
Угол $\angle EDF$ и угол $\angle E_1D_1F_1$ образованы соответственно параллельными прямыми ($DE \parallel D_1E_1$ и $DF \parallel D_1F_1$). Следовательно, эти углы равны.
Таким образом, $\triangle DEF \sim \triangle D_1E_1F_1$ по двум сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия равен $\frac{3}{2}$.

Из подобия этих треугольников следует, что отношение третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $$ \frac{EF}{E_1F_1} = \frac{3}{2} $$ По условию $EF = 15$ см. $$ \frac{15}{E_1F_1} = \frac{3}{2} $$ $$ E_1F_1 = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10 \text{ см} $$ Ответ: $10$ см.

3.

Построение сечения призмы плоскостью $MPK$ выполняется в несколько шагов.

1. Соединяем точки $M$ и $K$, лежащие в одной плоскости (верхнее основание $A_1B_1C_1$). Отрезок $MK$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $A_1B_1C_1$.

2. Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Секущая плоскость $(MPK)$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $(ABC)$ будет параллельна прямой $MK$.

3. Через точку $P$, лежащую в плоскости $(ABC)$, проводим прямую $l$, параллельную прямой $MK$ ($l \parallel MK$).

4. Находим точки пересечения прямой $l$ с ребрами нижнего основания. Пусть прямая $l$ пересекает ребро $AB$ в точке $Q$ и ребро $BC$ в точке $R$. Отрезок $QR$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$.

5. Теперь у нас есть точки сечения на четырех ребрах: $M$ на $A_1B_1$, $K$ на $A_1C_1$, $Q$ на $AB$ и $R$ на $BC$. Соединяем точки, лежащие в одних и тех же гранях.
- Точки $M$ и $Q$ лежат в грани $AA_1B_1B$. Соединяем их, получаем отрезок $MQ$. - Точки $R$ и ...? Нам нужна точка на ребре $CC_1$.

6. Для нахождения следующей точки используем метод следов. Продлим в плоскости верхнего основания прямую $MK$ до пересечения с продолжением прямой $A_1C_1$ (это точка $K$) и прямой $B_1C_1$. Обозначим точку пересечения $MK \cap B_1C_1 = X$.

7. Точка $X$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $MK$) и плоскости боковой грани $BB_1C_1C$ (так как лежит на прямой $B_1C_1$).

8. В плоскости грани $BB_1C_1C$ у нас теперь есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $R$ (на ребре $BC$) и точка $X$. Проводим через них прямую $RX$.

9. Эта прямая $RX$ является следом секущей плоскости на грани $BB_1C_1C$. Она пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $N$. Отрезок $RN$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $BB_1C_1C$.

10. Соединяем оставшиеся точки. Точки $N$ и $K$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$. Соединяем их отрезком $NK$.

11. В результате получили замкнутый многоугольник $MQRNK$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MQRNK$, построенный согласно описанным шагам.

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекция- ми на плоскость $\alpha$ соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежа- щих на одной прямой (точка $C$ лежит между точками $A$и $B$). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AC = 4$ см, $A_1C_1 = BC = 6$ см.

2. Точки $F$, $K$, $M$ и $E$ принадлежат рёбрам $BC$, $AC$, $A_1C_1$ и $B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что $CF : FB = CK : KA = 4 : 1$, $C_1M : MA_1 = C_1E : EB_1 = 1 : 6$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $KF$ и $ME$ на плоскость $ACC_1$ в на- правлении прямой $BC_1$? Найдите отношение проекций отрезков $KF$ и $ME$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — парал- лельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 30). Прямая $p_1$ при- надлежит плоскости $\alpha$ и яв- ляется проекцией прямой $p$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $p$.

Рис. 20

1.

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Точки A, B, C лежат на одной прямой, и точка C находится между A и B. Их параллельные проекции A₁, B₁, C₁ также лежат на одной прямой.

Следовательно, выполняется соотношение:

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $$

Подставим известные значения в формулу: $AC = 4$ см, $BC = 6$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

$$ \frac{4}{6} = \frac{6}{B_1C_1} $$

Отсюда найдем длину отрезка $B_1C_1$:

$$ 4 \cdot B_1C_1 = 6 \cdot 6 $$

$$ 4 \cdot B_1C_1 = 36 $$

$$ B_1C_1 = \frac{36}{4} $$

$$ B_1C_1 = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см.

2.

Сначала определим, какой фигурой является проекция. Для этого рассмотрим взаимное расположение прямых KF и ME.

В треугольнике ABC точки K и F лежат на сторонах AC и BC соответственно. Из условия $CK:KA = 4:1$ следует, что $CK = \frac{4}{5}CA$. Из условия $CF:FB = 4:1$ следует, что $CF = \frac{4}{5}CB$. Так как $\frac{CK}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{4}{5}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая KF параллельна прямой AB.

Аналогично рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. Точки M и E лежат на сторонах A₁C₁ и B₁C₁ соответственно. Из условия $C_1M:MA_1 = 1:6$ следует, что $C_1M = \frac{1}{7}C_1A_1$. Из условия $C_1E:EB_1 = 1:6$ следует, что $C_1E = \frac{1}{7}C_1B_1$. Так как $\frac{C_1M}{C_1A_1} = \frac{C_1E}{C_1B_1} = \frac{1}{7}$, то прямая ME параллельна прямой A₁B₁.

Поскольку ABCA₁B₁C₁ — призма, ее основания параллельны, то есть $AB \parallel A_1B_1$. Отсюда следует, что $KF \parallel ME$.

При параллельном проектировании проекциями двух параллельных прямых являются либо две параллельные прямые, либо одна прямая. В данном случае прямые KF и ME не параллельны направлению проектирования (прямой BC₁), так как $AB$ и $BC_1$ — скрещивающиеся ребра призмы. Следовательно, проекцией прямых KF и ME на плоскость ACC₁ будет пара параллельных прямых.

Теперь найдем отношение длин проекций отрезков KF и ME. При параллельном проектировании сохраняется отношение длин параллельных отрезков. Поэтому отношение длин проекций будет равно отношению длин самих отрезков KF и ME.

Из подобия треугольников CKF и CAB (с коэффициентом $k = \frac{4}{5}$) следует, что $KF = \frac{4}{5}AB$.

Из подобия треугольников C₁ME и C₁A₁B₁ (с коэффициентом $k' = \frac{1}{7}$) следует, что $ME = \frac{1}{7}A_1B_1$.

Так как в призме $AB = A_1B_1$, мы можем найти отношение длин отрезков KF и ME:

$$ \frac{|KF|}{|ME|} = \frac{\frac{4}{5}|AB|}{\frac{1}{7}|A_1B_1|} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{7}} = \frac{4}{5} \cdot 7 = \frac{28}{5} $$

Таким образом, отношение длин проекций также равно $28:5$.

Ответ: Проекцией является пара параллельных прямых; отношение длин проекций отрезков KF и ME равно $28:5$.

3.

Для построения прямой $p$ необходимо найти две точки, принадлежащие этой прямой. Прямая $p$ является прообразом прямой $p_1$ при заданном параллельном проектировании и лежит в плоскости ABC.

Построение выполняется следующим образом:

1. Находим первую точку прямой $p$. Из рисунка видно, что прямая $p_1$ проходит через точку $C_1$. Так как $C_1$ является проекцией точки $C$, то ее прообраз — точка $C$ — будет лежать на искомой прямой $p$. Таким образом, точка $C$ — первая точка прямой $p$.

2. Находим вторую точку прямой $p$. Выберем на прямой $p_1$ еще одну удобную точку. Пусть это будет точка $K_1$ — точка пересечения прямой $p_1$ с прямой $A_1B_1$.

3. Строим прообраз точки $K_1$. Прообраз точки $K_1$, назовем его $K$, должен лежать на прообразе прямой $A_1B_1$, то есть на прямой $AB$. Также отрезок $KK_1$ должен быть параллелен направлению проектирования (т.е. параллелен отрезкам $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$).

4. Для нахождения точки $K$ на прямой $AB$ проводим через точку $K_1$ прямую, параллельную прямой $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ и будет искомой точкой $K$.

5. Соединяем найденные точки $C$ и $K$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $K$, является искомой прямой $p$.

Ответ: Искомая прямая $p$ проходит через точку $C$ и точку $K$, где $K$ — это точка пересечения прямой $AB$ с прямой, проведенной через точку $K_1 = p_1 \cap A_1B_1$ параллельно $AA_1$.