Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Параллелепипед

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 9 см, 8 см и 5 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и $4\sqrt{2}$ см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 12 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $5 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$.

1. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$, а его диагональ как $d$.
По условию задачи, диагональ больше его измерений на 9 см, 8 см и 5 см соответственно. Запишем это в виде системы уравнений:
$d = a + 9 \implies a = d - 9$
$d = b + 8 \implies b = d - 8$
$d = c + 5 \implies c = d - 5$
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений, что выражается формулой:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Подставим выражения для $a, b, c$ через $d$ в эту формулу:
$d^2 = (d - 9)^2 + (d - 8)^2 + (d - 5)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$d^2 = (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 10d + 25)$
Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$d^2 = 3d^2 - 44d + 170$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = 2d^2 - 44d + 170$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$d^2 - 22d + 85 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 22, а их произведение — 85. Легко подобрать корни: $d_1 = 5$ и $d_2 = 17$.
Проверим оба найденных значения:
1) Если $d = 5$ см, то измерение $a = d - 9 = 5 - 9 = -4$ см. Длина ребра не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.
2) Если $d = 17$ см, то измерения параллелепипеда равны:
$a = 17 - 9 = 8$ см
$b = 17 - 8 = 9$ см
$c = 17 - 5 = 12$ см
Все измерения являются положительными числами, значит, это решение нам подходит.
Ответ: 17 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм. Пусть его стороны равны $a = 7$ см и $b = 4\sqrt{2}$ см, а острый угол между ними $\alpha = 45°$. Высота параллелепипеда $h = 12$ см.
Квадрат диагонали прямого параллелепипеда ($D$) равен сумме квадрата диагонали его основания ($d$) и квадрата высоты ($h$): $D^2 = d^2 + h^2$.
Чтобы найти меньшую диагональ параллелепипеда, необходимо сначала найти меньшую диагональ его основания. Меньшая диагональ параллелограмма ($d_1$) лежит напротив его острого угла.
Для нахождения квадрата меньшей диагонали основания воспользуемся теоремой косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
Подставим известные значения:
$d_1^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(45°)$
$d_1^2 = 49 + (16 \cdot 2) - 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 49 + 32 - \frac{56 \cdot 2}{2}$
$d_1^2 = 81 - 56 = 25$
Отсюда меньшая диагональ основания $d_1 = \sqrt{25} = 5$ см.
Теперь можем найти меньшую диагональ параллелепипеда ($D_1$):
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
$D_1^2 = 5^2 + 12^2$
$D_1^2 = 25 + 144 = 169$
$D_1 = \sqrt{169} = 13$ см.
Ответ: 13 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Обозначим сторону ромба как $a$, его диагонали как $d_1$ и $d_2$, а высоту параллелепипеда как $h$.
Диагональные сечения прямого параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Площади этих сечений ($S_1$ и $S_2$) равны произведению соответствующей диагонали основания на высоту параллелепипеда.
По условию задачи:
$S_1 = d_1 \cdot h = 5$ см²
$S_2 = d_2 \cdot h = 12$ см²
Из этих уравнений выразим диагонали основания через высоту:
$d_1 = \frac{5}{h}$
$d_2 = \frac{12}{h}$
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Для ромба со стороной $a$ периметр равен $P_{осн} = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4ah$.
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, в которых гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
Умножим обе части на 4:
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$
Подставим в это уравнение ранее полученные выражения для $d_1$ и $d_2$:
$4a^2 = (\frac{5}{h})^2 + (\frac{12}{h})^2$
$4a^2 = \frac{25}{h^2} + \frac{144}{h^2}$
$4a^2 = \frac{169}{h^2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей (так как $a$ и $h$ — положительные величины):
$\sqrt{4a^2} = \sqrt{\frac{169}{h^2}}$
$2a = \frac{13}{h}$
Чтобы найти $S_{бок} = 4ah$, умножим обе части последнего равенства на $2h$:
$2a \cdot 2h = \frac{13}{h} \cdot 2h$
$4ah = 26$
Следовательно, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 26 см².
Ответ: 26 см².

Самостоятельная работа № 21

Пирамида

1. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $ \alpha $. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна 10 см. Острый угол трапеции равен $ 30^\circ $. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $ 45^\circ $.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 24 см. Высота пирамиды равна $ 4\sqrt{3} $ см. Все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите эти углы.

1.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании. Пусть сторона основания равна $a$. Пусть SO – высота пирамиды, O – центр треугольника ABC. Проведем апофему SM, где M – середина стороны AC.

Двугранный угол при ребре основания AC – это угол между плоскостями (SAC) и (ABC). Его линейной мерой является угол SMO, так как $SM \perp AC$ и $OM \perp AC$. По условию $\angle SMO = \alpha$.

Плоский угол при вершине пирамиды – это, например, угол ASC. Обозначим его $\beta$. Так как пирамида правильная, все такие углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. Катет OM – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен $OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из треугольника SOM найдем апофему SM:

$\cos \alpha = \frac{OM}{SM} \Rightarrow SM = \frac{OM}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha}$

Теперь рассмотрим боковую грань – равнобедренный треугольник SAC. SM является его высотой, медианой и биссектрисой. Значит, $\angle MSC = \frac{\beta}{2}$.

В прямоугольном треугольнике SMC катет $MC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.

Найдем тангенс угла MSC:

$\text{tg}(\angle MSC) = \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{MC}{SM} = \frac{a/2}{\frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{6\cos \alpha}{a\sqrt{3}} = \frac{3\cos \alpha}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\cos \alpha$

Отсюда находим искомый угол $\beta$:

$\frac{\beta}{2} = \text{arctg}(\sqrt{3}\cos \alpha)$

$\beta = 2 \cdot \text{arctg}(\sqrt{3}\cos \alpha)$

Ответ: $2 \cdot \text{arctg}(\sqrt{3}\cos \alpha)$.

2.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция ABCD, где AB – меньшая боковая сторона, и она перпендикулярна основаниям AD и BC. По условию, $AB = 10$ см, а острый угол $\angle D = 30^\circ$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$, вершина пирамиды S проецируется в центр вписанной в основание окружности O. Это также означает, что в трапецию можно вписать окружность.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. $h = AB = 10$ см. Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Найдем стороны и площадь основания. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD. В нем $CH = AB = 10$ см, $\angle D = 30^\circ$.

Найдем боковую сторону CD: $\sin 30^\circ = \frac{CH}{CD} \Rightarrow CD = \frac{CH}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.

$10 + 20 = 30$ см. Значит, $BC + AD = 30$ см.

Площадь трапеции (основания пирамиды):

$S_{осн} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{30}{2} \cdot 10 = 150$ см$^2$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $l$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P_{осн} = (AB + CD) + (BC + AD) = 30 + 30 = 60$ см.

Найдем апофему $l$. Рассмотрим треугольник SOM, где S – вершина пирамиды, O – ее проекция (центр вписанной окружности), M – точка касания вписанной окружности со стороной основания. OM – радиус вписанной окружности, $OM = r = 5$ см. Угол SMO – это линейный угол двугранного угла при ребре основания, $\angle SMO = 45^\circ$.

Треугольник SOM – прямоугольный. $\cos 45^\circ = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{l}$.

$l = \frac{r}{\cos 45^\circ} = \frac{5}{\sqrt{2}/2} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 5\sqrt{2} = 150\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 150 + 150\sqrt{2} = 150(1+\sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $150(1+\sqrt{2})$ см$^2$.

3.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 24$ см. Высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см.

Условие "все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы" означает, что вершина пирамиды S проецируется в центр вписанной в основание окружности O. Для равностороннего треугольника этот центр совпадает с центром описанной окружности, центром тяжести и т.д.

Угол, который боковая грань образует с плоскостью основания, – это двугранный угол при ребре основания. Его линейной мерой является угол $\angle SMO$, где S – вершина пирамиды, O – ее проекция, M – середина стороны основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. Катет SO – это высота пирамиды, $SO = H = 4\sqrt{3}$ см. Катет OM – это радиус вписанной в основание окружности.

Найдем радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a = 24$ см:

$OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике SOM мы имеем два катета: $SO = 4\sqrt{3}$ см и $OM = 4\sqrt{3}$ см. Так как катеты равны, треугольник SOM является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Острые углы в таком треугольнике равны $45^\circ$. Искомый угол – это $\angle SMO$.

Следовательно, $\angle SMO = 45^\circ$.

Также можно найти через тангенс:

$\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$

$\angle SMO = \text{arctg}(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.