Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Параллельность плоскостей

1. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Плоскость, параллельная плоскости $ASB$, пересекает рёбра $SC$, $SD$ и $AD$ в точках $K$, $P$ и $F$ соответственно. Известно, что $SK : KC = 1 : 4$, $AD = 30$ см. Найдите отрезки $DF$ и $FA$.

2. Точки $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$. Точки $B$, $B_1$, $C$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 30). Известно, что $AB \parallel A_1B_1$, $AC \parallel A_1C_1$, $AC : A_1C_1 = 4 : 1$, $B_1C_1 = 5$ см.

1) Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

2) Найдите отрезок $BC$.

3. На рёбрах $AB$ и $AC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $D$ и $E$ соответственно. На грани $A_1B_1C_1$ отметили точку $M$ (рис. 31). Постройте сечение призмы плоскостью $DEM$.

Рис. 30

Рис. 31

1.

Пусть секущая плоскость называется $\beta$. По условию, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $(ASB)$. Основание пирамиды $ABCD$ — параллелограмм, следовательно, $AB \parallel DC$.

1. Рассмотрим плоскости $(ASB)$ и $(SDC)$. Они имеют общую точку $S$. Так как $AB \parallel DC$, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через точку $S$ и параллельная $AB$ и $DC$. Обозначим эту прямую $l$. Итак, $l \parallel AB \parallel DC$.

2. Плоскость $(SDC)$ пересекает параллельные плоскости $\beta$ и $(ASB)$. Линия пересечения плоскости $(SDC)$ с плоскостью $\beta$ — это прямая $KP$. Линия пересечения плоскости $(SDC)$ с плоскостью $(ASB)$ — это прямая $l$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения третьей плоскостью параллельны. Следовательно, $KP \parallel l$. Так как $l \parallel DC$, то и $KP \parallel DC$.

3. В треугольнике $\triangle SDC$ отрезок $KP$ параллелен стороне $DC$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), имеем: $$ \frac{SK}{SC} = \frac{SP}{SD} $$

4. По условию дано отношение $SK : KC = 1 : 4$. Тогда $SC = SK + KC = SK + 4 \cdot SK = 5 \cdot SK$. Отсюда находим отношение: $$ \frac{SK}{SC} = \frac{SK}{5 \cdot SK} = \frac{1}{5} $$ Следовательно, $\frac{SP}{SD} = \frac{1}{5}$.

5. Теперь рассмотрим плоскость $(SAD)$. Она пересекает параллельные плоскости $\beta$ и $(ASB)$. Линия пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $FP$. Линия пересечения с плоскостью $(ASB)$ — это прямая $SA$. Следовательно, $FP \parallel SA$.

6. В треугольнике $\triangle SAD$ отрезок $FP$ параллелен стороне $SA$. По теореме о пропорциональных отрезках: $$ \frac{DF}{DA} = \frac{DP}{DS} $$

7. Из шага 4 мы знаем, что $\frac{SP}{SD} = \frac{1}{5}$. Тогда $DP = SD - SP = SD - \frac{1}{5}SD = \frac{4}{5}SD$. Отсюда: $$ \frac{DP}{DS} = \frac{4}{5} $$

8. Подставим это отношение в формулу из шага 6: $$ \frac{DF}{DA} = \frac{4}{5} $$ По условию $AD = 30$ см. Найдем $DF$: $$ DF = \frac{4}{5} \cdot AD = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24 \text{ см} $$

9. Найдем длину отрезка $FA$: $$ FA = AD - DF = 30 - 24 = 6 \text{ см} $$

Ответ: $DF = 24$ см, $FA = 6$ см.

2.

1)

Докажем, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

1. Так как по условию $AB \parallel A_1B_1$, то точки $A, B, A_1, B_1$ лежат в одной плоскости. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ лежат в этой плоскости. Они не параллельны, так как прямая $BB_1$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $AA_1$ пересекает ее (поскольку точки $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $\alpha$). Следовательно, прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в некоторой точке $O$.

2. Аналогично, так как $AC \parallel A_1C_1$, то прямые $AA_1$ и $CC_1$ лежат в одной плоскости и не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке $O'$.

3. Нам нужно доказать, что точки $O$ и $O'$ совпадают. Обе эти точки лежат на прямой $AA_1$.

4. В плоскости $(O'AC)$ треугольники $\triangle O'A_1C_1$ и $\triangle O'AC$ подобны, так как $A_1C_1 \parallel AC$. Из подобия следует: $$ \frac{O'A_1}{O'A} = \frac{A_1C_1}{AC} $$ По условию $AC : A_1C_1 = 4 : 1$, значит $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{1}{4}$. Таким образом, точка $O'$ делит отрезок $AA_1$ (внешним образом) в отношении $\frac{O'A_1}{O'A} = \frac{1}{4}$.

5. В плоскости $(OAB)$ треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OAB$ подобны, так как $A_1B_1 \parallel AB$. Из подобия следует, что точка $O$ также делит отрезок $AA_1$ в некотором отношении. Чтобы прямые $AC$ и $A_1C_1$ были параллельны, необходимо, чтобы треугольники $\triangle OA_1C_1$ и $\triangle OAC$ были подобны, что возможно только если $\frac{OA_1}{OA} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{1}{4}$.

6. Точка, делящая отрезок $AA_1$ в заданном отношении $1:4$ (внешним образом), единственна. Так как и точка $O$, и точка $O'$ удовлетворяют этому условию, они должны совпадать: $O = O'$.

Следовательно, все три прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$.

2)

Найдем отрезок $BC$.

1. Из доказанного выше следует, что прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в той же точке $O$, что и $AA_1$. Это означает, что точки $O, B, C, B_1, C_1$ лежат в одной плоскости.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle OB_1C_1$ в этой плоскости. Из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OA_1C_1$ мы знаем, что $\frac{OC_1}{OC} = \frac{OA_1}{OA} = \frac{1}{4}$. Из подобия треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$ мы знаем, что $\frac{OB_1}{OB} = \frac{OA_1}{OA} = \frac{1}{4}$.

3. Таким образом, в треугольниках $\triangle OBC$ и $\triangle OB_1C_1$ имеем $\frac{OB_1}{OB} = \frac{OC_1}{OC} = \frac{1}{4}$, а угол при вершине $O$ у них общий. Следовательно, эти треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из подобия следует, что отношение их третьих сторон равно коэффициенту подобия: $$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{1}{4} $$

5. По условию $B_1C_1 = 5$ см. Подставляем это значение в пропорцию: $$ \frac{5}{BC} = \frac{1}{4} $$ Отсюда находим $BC$: $$ BC = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см} $$

Ответ: $BC = 20$ см.

3.

Для построения сечения призмы плоскостью $DEM$ выполним следующие шаги:

1. Точки $D$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Соединим их отрезком. Отрезок $DE$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания и, следовательно, является стороной искомого сечения.

2. Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(DEM)$ пересекает плоскость $(A_1B_1C_1)$ по прямой, параллельной линии ее пересечения с плоскостью $(ABC)$, то есть параллельной прямой $DE$.

3. В плоскости $(A_1B_1C_1)$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную $DE$. Пусть эта прямая пересекает ребра $A_1C_1$ и $B_1C_1$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Отрезок $FG$ — это еще одна сторона сечения.

4. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$. Соединим их отрезком $EF$, который будет стороной сечения.

5. Чтобы найти следующую сторону сечения на грани $(ABB_1A_1)$, воспользуемся методом следов. Продлим прямую $EF$ (которая лежит в секущей плоскости) до пересечения с прямой $AA_1$ (которая является линией пересечения граней $(ACC_1A_1)$ и $(ABB_1A_1)$). Обозначим точку их пересечения $T$.

6. Точка $T$ и точка $D$ принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости грани $(ABB_1A_1)$. Проведем через них прямую $TD$. Эта прямая является следом секущей плоскости на грани $(ABB_1A_1)$.

7. Прямая $TD$ пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке $H$. Отрезок $DH$ является стороной сечения.

8. Точки $H$ и $G$ лежат в плоскости боковой грани $(BCC_1B_1)$. Соединим их отрезком $HG$. Это последняя сторона сечения.

В результате построен пятиугольник $DEFGH$. Это и есть искомое сечение призмы.

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями

ями на плоскость $\alpha$ соответственно точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точка B лежит между точками A и C). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AB = 4$ см,

$A_1B_1 = BC = 10$ см.

2. Точки E, P, N и D принадлежат рёбрам MA, MB, BC и

AC тетраэдра MABC соответственно. Известно, что

$ME : EA = MP : PB = 3 : 1$, $CN : NB = CD : DA = 2 : 5$.

Какая геометрическая фигура является параллельной

проекцией прямых PE и DN на плоскость AMC в направлении прямой BC? Найдите отношение проекций

отрезков PE и ND.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек

A, B, C на плоскость $\alpha$

(рис. 32). Прямая $a_1$ принадлежит плоскости $\alpha$ и является проекцией прямой

$a$, лежащей в плоскости

ABC. Постройте прямую $a$.

Рис. 32

1.

При параллельном проектировании отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. Точки A, B, и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁, и C₁ являются их проекциями и, следовательно, также лежат на одной прямой.

По свойству параллельного проектирования, отношение длин отрезков AB и BC равно отношению длин их проекций A₁B₁ и B₁C₁:

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} $$

Подставим известные значения в формулу. Нам дано:

• $AB = 4$ см
• $BC = 10$ см
• $A_1B_1 = 10$ см

Получаем пропорцию:

$$ \frac{4}{10} = \frac{10}{B_1C_1} $$

Выразим из этой пропорции искомую длину отрезка B₁C₁:

$$ B_1C_1 = \frac{10 \cdot 10}{4} = \frac{100}{4} = 25 \text{ см} $$

Ответ: 25 см.

2.

Рассмотрим треугольник MAB. В нем точки E и P лежат на сторонах MA и MB соответственно. По условию, $ME : EA = MP : PB = 3 : 1$. Из этого следует, что $ME : MA = MP : MB = 3 : (3+1) = 3 : 4$. По обратной теореме Фалеса, прямая PE параллельна прямой AB ($PE \parallel AB$).

Рассмотрим треугольник ABC. В нем точки D и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. По условию, $CD : DA = CN : NB = 2 : 5$. Из этого следует, что $CD : CA = CN : CB = 2 : (2+5) = 2 : 7$. По обратной теореме Фалеса, прямая DN параллельна прямой AB ($DN \parallel AB$).

Так как $PE \parallel AB$ и $DN \parallel AB$, то прямые PE и DN параллельны между собой ($PE \parallel DN$).

Теперь найдем проекции прямых PE и DN на плоскость AMC в направлении прямой BC.

Проекцией точки является точка пересечения прямой, проходящей через исходную точку параллельно направлению проектирования, с плоскостью проекции.

• Точки E и D лежат на ребрах MA и AC, которые принадлежат плоскости AMC. Следовательно, они проектируются сами в себя. Обозначим их проекции E' и D', тогда $E' = E$ и $D' = D$.
• Для нахождения проекции точки P (лежащей на MB), проведем через нее прямую, параллельную BC. Эта прямая лежит в плоскости MBC и пересечет ребро MC в некоторой точке P'. Таким образом, P' — проекция P. Из подобия треугольников MP'P и MCB следует, что $MP' : MC = MP : MB = 3 : 4$.
• Для нахождения проекции точки N (лежащей на BC), проведем через нее прямую, параллельную BC. Эта прямая совпадает с самой прямой BC. Прямая BC пересекает плоскость AMC в точке C. Следовательно, проекцией точки N является точка C. Обозначим ее проекцию N', тогда $N' = C$.

Таким образом, проекцией отрезка PE является отрезок E'P', то есть EP'. Проекцией отрезка DN является отрезок D'N', то есть DC.

В треугольнике MAC точки E и P' лежат на сторонах MA и MC, причем $ME : MA = MP' : MC = 3 : 4$. Следовательно, $EP' \parallel AC$. Прямая, содержащая отрезок DC, — это прямая AC. Таким образом, проекции прямых PE и DN — это две параллельные прямые.

Теперь найдем отношение длин проекций отрезков PE и ND, то есть отношение $EP' / DC$.

Из подобия треугольников MEP' и MAC ($k = 3/4$):

$$ EP' = \frac{3}{4} AC $$

Из условия $CD : DA = 2 : 5$ следует, что $AC = CD + DA = CD + \frac{5}{2}CD = \frac{7}{2}CD$, откуда:

$$ DC = \frac{2}{7} AC $$

Найдем искомое отношение:

$$ \frac{EP'}{DC} = \frac{\frac{3}{4} AC}{\frac{2}{7} AC} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2} = \frac{21}{8} $$

Ответ: Параллельной проекцией прямых PE и DN является пара параллельных прямых. Отношение длин проекций отрезков PE и ND равно 21:8.

3.

Для построения прямой $a$, лежащей в плоскости ABC, достаточно построить две ее точки. Построение основано на том, что прямая $a$ является прообразом прямой $a_1$ при параллельном проектировании.

Алгоритм построения:

1. Найти точку прямой $a$, лежащую в плоскости проекции $\alpha$.
   Эта точка является точкой пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$. При проектировании она переходит сама в себя, а значит, лежит и на проекции $a_1$. Следовательно, эта точка является общей для прямых $a$, $a_1$ и плоскости ABC. Для ее нахождения нужно найти линию пересечения плоскостей ABC и $\alpha$, а затем найти пересечение этой линии с прямой $a_1$.
   • Построим точку $X$ как пересечение прямых AB и $A_1B_1$ ($X = AB \cap A_1B_1$). Точка X принадлежит обеим плоскостям.
   • Построим точку $Y$ как пересечение прямых BC и $B_1C_1$ ($Y = BC \cap B_1C_1$). Точка Y также принадлежит обеим плоскостям.
   • Прямая $XY$ является линией пересечения плоскостей ABC и $\alpha$.
   • Найдем точку пересечения прямой $a_1$ с прямой $XY$. Обозначим эту точку $K$ ($K = a_1 \cap XY$). Точка $K$ — первая искомая точка прямой $a$.
2. Найти вторую точку прямой $a$.
   Для этого выберем на прямой $a_1$ любую удобную точку $P_1$ и найдем ее прообраз $P$ в плоскости ABC.
   • В качестве точки $P_1$ удобно взять точку пересечения прямой $a_1$ с одной из сторон проекции треугольника, например, $P_1 = a_1 \cap A_1C_1$.
   • Прообраз $P$ точки $P_1$ должен лежать на прообразе прямой $A_1C_1$, то есть на прямой AC.
   • По свойству параллельного проектирования, точка $P$ делит отрезок AC в том же отношении, в котором точка $P_1$ делит отрезок $A_1C_1$. То есть, $AP:PC = A_1P_1:P_1C_1$.
   • Построим на отрезке AC точку $P$, удовлетворяющую данной пропорции (например, с помощью теоремы Фалеса). Точка $P$ — вторая искомая точка прямой $a$.
3. Построить прямую $a$.
   Провести прямую через построенные точки $K$ и $P$. Эта прямая и будет искомой прямой $a$.

Ответ: Прямая $a$ строится как прямая, проходящая через две точки: 1) точку пересечения ее проекции $a_1$ с линией пересечения плоскостей ABC и $\alpha$; 2) точку на одной из сторон треугольника ABC (например, AC), которая является прообразом точки пересечения $a_1$ с соответствующей стороной проекции треугольника (например, $A_1C_1$) и делит ее в том же отношении.