Страница 38 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Параллелепипед

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 16 см, 13 см и 5 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 5 см и 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 24 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $15\text{ см}^2$ и $8\text{ см}^2$.

1. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$, а его диагональ равна $d$.

По условию задачи, диагональ больше измерений на 16 см, 13 см и 5 см. Запишем это в виде системы уравнений:

$d = a + 16$

$d = b + 13$

$d = c + 5$

Выразим измерения $a, b, c$ через диагональ $d$:

$a = d - 16$

$b = d - 13$

$c = d - 5$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим выражения для $a, b, c$ в эту формулу:

$d^2 = (d - 16)^2 + (d - 13)^2 + (d - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 32d + 256) + (d^2 - 26d + 169) + (d^2 - 10d + 25)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$d^2 = 3d^2 - 68d + 450$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2d^2 - 68d + 450 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$d^2 - 34d + 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а произведение равно 225. Корнями являются числа 9 и 25.

Проверим оба корня. Измерения параллелепипеда должны быть положительными числами.

Если $d = 9$ см, то $a = 9 - 16 = -7$ см. Это значение невозможно, так как длина не может быть отрицательной.

Если $d = 25$ см, то:

$a = 25 - 16 = 9$ см

$b = 25 - 13 = 12$ см

$c = 25 - 5 = 20$ см

Все измерения положительны, следовательно, это решение является верным.

Ответ: 25 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Высота параллелепипеда $h = 24$ см.

У параллелограмма в основании есть две диагонали: меньшая $d_1$ и большая $d_2$. Меньшая диагональ параллелограмма лежит напротив острого угла. Найдем ее длину по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$

Так как $\cos(60°) = 0.5$:

$d_1^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49$

$d_1 = \sqrt{49} = 7$ см.

Диагонали прямого параллелепипеда ($D$) связаны с его высотой ($h$) и диагоналями основания ($d$) соотношением $D^2 = h^2 + d^2$.

Меньшей диагонали параллелепипеда ($D_{min}$) соответствует меньшая диагональ основания ($d_1$).

Найдем квадрат меньшей диагонали параллелепипеда:

$D_{min}^2 = h^2 + d_1^2$

$D_{min}^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$

Тогда меньшая диагональ равна:

$D_{min} = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

3. Основание прямого параллелепипеда — ромб. Пусть его диагонали равны $d_1$ и $d_2$, а сторона равна $a$. Высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда — это прямоугольники. Их стороны — это диагонали основания и высота параллелепипеда. Площади этих сечений равны:

$S_1 = d_1 \cdot h = 15$ см²

$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см²

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания. Для ромба $P = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4ah$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба связана с его диагоналями по теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Из формул для площадей сечений выразим $d_1$ и $d_2$:

$d_1 = \frac{15}{h}$

$d_2 = \frac{8}{h}$

Подставим эти выражения в соотношение для стороны ромба:

$4a^2 = (\frac{15}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2$

$4a^2 = \frac{225}{h^2} + \frac{64}{h^2}$

$4a^2 = \frac{289}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$:

$4a^2h^2 = 289$

$(2ah)^2 = 289$

Извлечем квадратный корень:

$2ah = \sqrt{289} = 17$

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4ah = 2 \cdot (2ah) = 2 \cdot 17 = 34$ см².

Ответ: 34 см².

Самостоятельная работа № 21

Пирамида

1. Угол между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $30^\circ$.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 18 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

1.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть $O$ — центр квадрата, тогда $SO$ — высота пирамиды. Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость ($OA$). Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Требуется найти плоский угол при вершине пирамиды, то есть угол в боковой грани, например, $\beta = \angle ASB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник боковой грани $\triangle ASB$ со сторонами $SA=SB$. Обозначим длину бокового ребра за $l$, т.е. $SA=l$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ находим проекцию бокового ребра на плоскость основания: $OA = SA \cos\alpha = l \cos\alpha$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его диагональ $AC = 2 \cdot OA = 2l \cos\alpha$. Сторона квадрата $AB$ связана с диагональю соотношением $AC = AB\sqrt{2}$. Отсюда, $AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2l \cos\alpha}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}l \cos\alpha$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ASB$: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos\beta$

Подставим известные величины: $(\sqrt{2}l \cos\alpha)^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos\beta$ $2l^2 \cos^2\alpha = 2l^2 - 2l^2 \cos\beta$

Разделим обе части уравнения на $2l^2$: $\cos^2\alpha = 1 - \cos\beta$

Отсюда выразим $\cos\beta$: $\cos\beta = 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Таким образом, искомый угол $\beta = \arccos(\sin^2\alpha)$.

Это выражение можно записать в другом виде. Используя формулу двойного угла $\cos\beta = 1 - 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получаем: $\sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$ $2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ $\sin(\frac{\beta}{2}) = \frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}}$ $\beta = 2\arcsin(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}})$

Ответ: $2\arcsin(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}})$ или $\arccos(\sin^2\alpha)$.

2.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Пусть боковая сторона трапеции $c = 8$ см, а острый угол равен $60^\circ$. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $30^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в трапецию окружности.

1. Найдем параметры основания.
Проведем высоту $h$ в трапеции. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью большего основания, находим: $h = c \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Также для такой трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований. Пусть основания равны $a$ и $b$. $a+b = c+c = 8+8 = 16$ см.

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\gamma}$, где $\gamma$ — двугранный угол при ребре основания. В нашем случае $\gamma = 30^\circ$. $S_{бок} = \frac{32\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{32\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 32 \cdot 2 = 64$ см².

4. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 32\sqrt{3} + 64$ см².

Ответ: $(64 + 32\sqrt{3})$ см².

3.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 18$ см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это означает, что все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$.

В этом случае вершина пирамиды проецируется в центр основания, который для равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей, а также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Для нахождения высоты пирамиды $H$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой (высотой боковой грани) $h_a$. Угол между апофемой и радиусом $r$ и будет равен данному углу $60^\circ$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$ для основания.
Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ $r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H$.
В упомянутом прямоугольном треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Угол между радиусом $r$ и апофемой равен $60^\circ$. Тогда: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan(60^\circ)$ $H = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.