Номер 21, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Пирамида

1. Угол между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $30^\circ$.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 18 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

1.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть $O$ — центр квадрата, тогда $SO$ — высота пирамиды. Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость ($OA$). Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Требуется найти плоский угол при вершине пирамиды, то есть угол в боковой грани, например, $\beta = \angle ASB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник боковой грани $\triangle ASB$ со сторонами $SA=SB$. Обозначим длину бокового ребра за $l$, т.е. $SA=l$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ находим проекцию бокового ребра на плоскость основания: $OA = SA \cos\alpha = l \cos\alpha$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его диагональ $AC = 2 \cdot OA = 2l \cos\alpha$. Сторона квадрата $AB$ связана с диагональю соотношением $AC = AB\sqrt{2}$. Отсюда, $AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2l \cos\alpha}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}l \cos\alpha$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ASB$: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos\beta$

Подставим известные величины: $(\sqrt{2}l \cos\alpha)^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos\beta$ $2l^2 \cos^2\alpha = 2l^2 - 2l^2 \cos\beta$

Разделим обе части уравнения на $2l^2$: $\cos^2\alpha = 1 - \cos\beta$

Отсюда выразим $\cos\beta$: $\cos\beta = 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Таким образом, искомый угол $\beta = \arccos(\sin^2\alpha)$.

Это выражение можно записать в другом виде. Используя формулу двойного угла $\cos\beta = 1 - 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получаем: $\sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$ $2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ $\sin(\frac{\beta}{2}) = \frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}}$ $\beta = 2\arcsin(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}})$

Ответ: $2\arcsin(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}})$ или $\arccos(\sin^2\alpha)$.

2.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Пусть боковая сторона трапеции $c = 8$ см, а острый угол равен $60^\circ$. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $30^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в трапецию окружности.

1. Найдем параметры основания.
Проведем высоту $h$ в трапеции. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью большего основания, находим: $h = c \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Также для такой трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований. Пусть основания равны $a$ и $b$. $a+b = c+c = 8+8 = 16$ см.

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\gamma}$, где $\gamma$ — двугранный угол при ребре основания. В нашем случае $\gamma = 30^\circ$. $S_{бок} = \frac{32\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{32\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 32 \cdot 2 = 64$ см².

4. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 32\sqrt{3} + 64$ см².

Ответ: $(64 + 32\sqrt{3})$ см².

3.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 18$ см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это означает, что все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$.

В этом случае вершина пирамиды проецируется в центр основания, который для равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей, а также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Для нахождения высоты пирамиды $H$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой (высотой боковой грани) $h_a$. Угол между апофемой и радиусом $r$ и будет равен данному углу $60^\circ$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$ для основания.
Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ $r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H$.
В упомянутом прямоугольном треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Угол между радиусом $r$ и апофемой равен $60^\circ$. Тогда: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan(60^\circ)$ $H = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.