Номер 3, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 37). Точка $M$ принадлежит ребру $BB_1$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MCK$.

Рис. 37

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 38) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рёбрам $SA$, $BC$ и $SB$ соответственно.

Рис. 38

3. Постройте сечение призмы $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 39) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $B$ и точку $P$, принадлежащую грани $C_1CD_1D$.

Рис. 39

1.

Для построения прямой пересечения плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(MCK)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.

1. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямые $MC$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$. Так как эти прямые, в общем случае, не параллельны, они пересекаются. Продлим отрезки $MC$ и $B_1C_1$ до их пересечения в точке $E$.
   • Точка $E$ лежит на прямой $MC$, следовательно, $E \in (MCK)$.
   • Точка $E$ лежит на прямой $B_1C_1$, которая принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, следовательно, $E \in (A_1B_1C_1)$.
   Таким образом, точка $E$ является одной из точек искомой прямой пересечения.
2. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Прямые $CK$ и $C_1D_1$ лежат в одной плоскости $(CDD_1C_1)$. Продлим отрезки $CK$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $F$.
   • Точка $F$ лежит на прямой $CK$, следовательно, $F \in (MCK)$.
   • Точка $F$ лежит на прямой $C_1D_1$, которая принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, следовательно, $F \in (A_1B_1C_1)$.
   Таким образом, точка $F$ является второй точкой прямой пересечения.
3. Прямая, проходящая через точки $E$ и $F$, является прямой пересечения плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(MCK)$.

Построение:
1. В плоскости грани $(BCC_1B_1)$ строим прямую $MC$ и прямую $B_1C_1$. Находим их точку пересечения $E = MC \cap B_1C_1$.
2. В плоскости грани $(CDD_1C_1)$ строим прямую $CK$ и прямую $D_1C_1$. Находим их точку пересечения $F = CK \cap D_1C_1$.
3. Проводим прямую через точки $E$ и $F$. Прямая $EF$ является искомой.

Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $EF$, где $E$ — точка пересечения прямых $MC$ и $B_1C_1$, а $F$ — точка пересечения прямых $CK$ и $D_1C_1$.

2.

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $(MPK)$ найдём линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Будем использовать метод следов.

1. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $SA$ и $SB$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(SAB)$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(SAB)$ и одной из сторон сечения.
2. Аналогично, точки $K$ и $P$ лежат на рёбрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(SBC)$. Следовательно, отрезок $KP$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(SBC)$ и второй стороной сечения.
3. Для нахождения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $(ABC)$, найдем след секущей плоскости на плоскости основания. Для этого:
   • В плоскости грани $(SAB)$ продлим прямую $MK$ (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с прямой $AB$ (лежащей в плоскости основания). Обозначим точку их пересечения $E$. Так как $E \in MK$, то $E \in (MPK)$. Так как $E \in AB$, то $E \in (ABC)$.
   • Точка $P$ также принадлежит обеим плоскостям: $P \in (MPK)$ по условию и $P \in (ABC)$, так как $P \in BC$.
   • Следовательно, прямая $EP$ является следом секущей плоскости $(MPK)$ на плоскости основания $(ABC)$.
4. Прямая $EP$ пересекает ребро $AC$ в некоторой точке $N$. Отрезок $PN$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(ABC)$ и третьей стороной сечения.
5. Точки $M$ и $N$ лежат в одной грани $(SAC)$ (на рёбрах $SA$ и $AC$ соответственно). Соединив их, получим отрезок $MN$ — четвёртую сторону сечения.

В результате получаем четырёхугольник $MKPN$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MKPN$, где $N$ — точка пересечения прямой $EP$ с ребром $AC$, а $E$ — точка пересечения прямых $MK$ и $AB$.

3.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, B$ и $P$, где $P \in (CDD_1C_1)$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы.

1. Точки $A$ и $B$ являются вершинами призмы и лежат в секущей плоскости $(ABP)$. Следовательно, ребро $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Для построения линии сечения на грани $CDD_1C_1$ воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(ABP)$ с плоскостью грани $(CDD_1C_1)$.
   • В плоскости основания $(ABCD)$ продлим прямые $AB$ (которая лежит в секущей плоскости) и $CD$ (которая лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$). Если $AB$ не параллельна $CD$, они пересекутся в точке $E$.
   • Точка $E$ принадлежит прямой $AB$, значит $E \in (ABP)$.
   • Точка $E$ принадлежит прямой $CD$, значит $E \in (CDD_1C_1)$.
   • Таким образом, точка $E$ лежит на линии пересечения плоскостей $(ABP)$ и $(CDD_1C_1)$.
3. Точка $P$ по условию также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая $EP$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $(CDD_1C_1)$.
4. Прямая $EP$ пересекает рёбра грани $CDD_1C_1$. Пусть она пересекает рёбра $DD_1$ и $CC_1$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Тогда отрезок $QR$ — это сторона сечения, лежащая на грани $CDD_1C_1$.
   (Примечание: если $AB \parallel CD$, то след на грани $(CDD_1C_1)$ строится как прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $AB$).
5. Теперь у нас есть точки сечения на боковых рёбрах. Соединим их с вершинами $A$ и $B$:
   • Точки $A$ и $Q$ лежат в плоскости грани $(ADD_1A_1)$. Отрезок $AQ$ — следующая сторона сечения.
   • Точки $B$ и $R$ лежат в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Отрезок $BR$ — последняя сторона сечения.

Искомым сечением является четырёхугольник $ABRQ$.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $ABRQ$, где точки $Q$ и $R$ являются точками пересечения прямой $EP$ с рёбрами $DD_1$ и $CC_1$ соответственно, а точка $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.