Номер 2, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Трапеция $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $M$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $K$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$?

2. Вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $A$ — по другую. Докажите, что точки пересечения сторон $AB$ и $AC$ с плоскостью $\alpha$ и точки пересечения биссектрис углов $ABC$ и $ACB$ с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $l$ пересекает плоскость $DEF$ в точке $D$. На прямой $l$ отметили точки $A$ и $B$. Могут ли прямые $AE$ и $BF$ пересекаться?

1.

По условию, трапеция $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что все ее вершины $A, B, C, D$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Аналогично, прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$. Точка пересечения прямых $AC$ и $BD$, точка $M$, также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, точки $A$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой ($AC$) и все принадлежат плоскости $\alpha$.

Вопрос состоит в том, можно ли провести плоскость через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$. Поскольку точки $A$, $M$, $C$ лежат на одной прямой, задача сводится к вопросу о возможности провести плоскость через прямую $KM$ и прямую $AC$.

Прямые $KM$ и $AC$ имеют общую точку $M$, то есть они пересекаются. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Эта плоскость будет содержать обе прямые, $KM$ и $AC$, а значит, будет проходить через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$.

Ответ: Да, можно.

2.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, называется $\beta$.

По условию, вершины треугольника $ABC$ не лежат в одной полуплоскости относительно плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$ и не совпадает с ней. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap \beta$.

Рассмотрим точки пересечения, упомянутые в задаче:

1. Точка пересечения стороны $AB$ с плоскостью $\alpha$. Сторона $AB$ является отрезком прямой, которая целиком лежит в плоскости $\beta$. Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Точка их пересечения должна принадлежать как прямой $AB$ (и, следовательно, плоскости $\beta$), так и плоскости $\alpha$. Значит, эта точка лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $l$.

2. Точка пересечения стороны $AC$ с плоскостью $\alpha$. Аналогично, прямая $AC$ лежит в плоскости $\beta$, а точки $A$ и $C$ находятся по разные стороны от $\alpha$. Следовательно, точка пересечения прямой $AC$ и плоскости $\alpha$ также должна лежать на прямой $l$.

3. Точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ с плоскостью $\alpha$. Биссектриса угла $ABC$ — это луч (или прямая), который полностью лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Если эта прямая пересекает плоскость $\alpha$, то точка пересечения по определению принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на их линии пересечения $l$.

4. Точка пересечения биссектрисы угла $ACB$ с плоскостью $\alpha$. Эта биссектриса также лежит в плоскости $\beta$. Её точка пересечения с плоскостью $\alpha$ (если она существует) должна лежать на прямой $l$.

Таким образом, все четыре указанные точки пересечения принадлежат одной и той же прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Предположим, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются в некоторой точке $P$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Таким образом, точки $A, E, B, F$ должны лежать в одной плоскости $\gamma$.

Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\gamma$, то вся прямая, проходящая через них (а это прямая $l$), также должна лежать в плоскости $\gamma$.

По условию задачи, прямая $l$ пересекает плоскость $DEF$ в точке $D$. Это означает, что точка $D$ принадлежит прямой $l$. Так как прямая $l$ лежит в плоскости $\gamma$, то и точка $D$ принадлежит плоскости $\gamma$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат в плоскости $DEF$. Из нашего предположения следует, что они также лежат в плоскости $\gamma$.

Таким образом, три точки $D, E, F$ принадлежат как плоскости $DEF$, так и плоскости $\gamma$.

Если точки $D, E, F$ не лежат на одной прямой (что подразумевается, так как они определяют "плоскость $DEF$"), то через них проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $DEF$.

Если плоскость $\gamma$ и плоскость $DEF$ совпадают, то прямая $l$, которая, как мы установили, лежит в плоскости $\gamma$, должна также лежать и в плоскости $DEF$.

Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что прямая $l$ *пересекает* плоскость $DEF$ в точке $D$. Это означает, что прямая $l$ и плоскость $DEF$ имеют только одну общую точку $D$, а не то, что прямая $l$ целиком лежит в этой плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не могут.