Номер 9, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

1. Отрезки $BN$ и $A_1E$ соответственно — высоты граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $BN$ и $A_1E$, если $\angle ACB = 40^\circ$.

2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = BB_1 = 4\sqrt{2}$ см, $BC = 3$ см. Найдите косинус угла между прямыми $A_1B$ и $AD_1$.

3. Рёбра $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ равны 6 см и 3 см соответственно, а угол между прямыми $AD$ и $BC$ равен $60^\circ$. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $BD$.

1. Угол между скрещивающимися прямыми $BN$ и $A_1E$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Прямая $BN$ лежит в плоскости основания $ABC$. Прямая $A_1E$ лежит в плоскости основания $A_1B_1C_1$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$, то основание $A_1B_1C_1$ можно получить параллельным переносом основания $ABC$ на вектор $\vec{AA_1}$. При этом переносе высота $A_1E$ треугольника $A_1B_1C_1$ перейдет в высоту $AF$ треугольника $ABC$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $BN$ и $A_1E$ равен углу между высотами $BN$ и $AF$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим четырехугольник $CNHF$, где $H$ — точка пересечения высот $BN$ и $AF$. В этом четырехугольнике:

• $\angle BNC = 90^\circ$ (так как $BN$ — высота к $AC$)
• $\angle AFC = 90^\circ$ (так как $AF$ — высота к $BC$)
• $\angle ACB = 40^\circ$ (по условию)

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Отсюда:

$\angle NHF + \angle HFC + \angle FCN + \angle CNH = 360^\circ$

$\angle NHF + 90^\circ + 40^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle NHF = 360^\circ - 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым углом. Угол $\angle NHF = 140^\circ$ — это один из углов, образованных при пересечении прямых $BN$ и $AF$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $BN$ и $AF$ равен $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

2. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $AD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Из условия имеем: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $BB_1 = 4\sqrt{2}$ см, $BC = 3$ см. В прямоугольном параллелепипеде $AD = BC = 3$ см и $AA_1 = BB_1 = 4\sqrt{2}$ см.

Определим координаты нужных точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(4\sqrt{2}, 0, 0)$
• $D(0, 3, 0)$
• $A_1(0, 0, 4\sqrt{2})$
• $D_1(0, 3, 4\sqrt{2})$

Найдем векторы, соответствующие нашим прямым:

$\vec{A_1B} = \{4\sqrt{2}-0, 0-0, 0-4\sqrt{2}\} = \{4\sqrt{2}, 0, -4\sqrt{2}\}$

$\vec{AD_1} = \{0-0, 3-0, 4\sqrt{2}-0\} = \{0, 3, 4\sqrt{2}\}$

Косинус угла $\theta$ между векторами можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{AD_1} = (4\sqrt{2} \cdot 0) + (0 \cdot 3) + (-4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}) = 0 + 0 - 16 \cdot 2 = -32$

Найдем длины векторов:

$|\vec{A_1B}| = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 0 + 32} = \sqrt{64} = 8$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 9 + 32} = \sqrt{41}$

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-32}{8 \cdot \sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$

Угол между прямыми — это острый угол, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos \alpha = |\cos \theta| = |-\frac{4}{\sqrt{41}}| = \frac{4}{\sqrt{41}}$

Ответ: $\frac{4}{\sqrt{41}}$.

3. Пусть $M$ — середина ребра $AC$, а $N$ — середина ребра $BD$. Для нахождения расстояния $MN$ воспользуемся векторным методом. Рассмотрим вспомогательную конструкцию.

Пусть $O$ — середина ребра $AB$. В треугольнике $ABC$ отрезок $OM$ является средней линией, следовательно, $OM$ параллельна $BC$ и $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $ON$ является средней линией, следовательно, $ON$ параллельна $AD$ и $ON = \frac{1}{2}AD = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, мы получили треугольник $OMN$. Расстояние $MN$ — это длина его третьей стороны. Угол $\angle MON$ между сторонами $OM$ и $ON$ равен углу между прямыми $BC$ и $AD$ (или смежному с ним), так как $OM \parallel BC$ и $ON \parallel AD$.

Угол между прямыми $AD$ и $BC$ равен $60^\circ$. Это означает, что угол между векторами $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ может быть $60^\circ$ или $120^\circ$. В зависимости от взаимного расположения ребер тетраэдра, возможны оба случая. Для определенности будем считать, что угол между векторами, образующими "каркас" треугольника $OMN$, является тупым, то есть $\angle MON = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $OMN$:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\angle MON)$

$MN^2 = (\frac{3}{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

$MN^2 = \frac{9}{4} + 9 - 9 \cdot (-\frac{1}{2})$

$MN^2 = \frac{9}{4} + \frac{36}{4} + \frac{9}{2} = \frac{45}{4} + \frac{18}{4} = \frac{63}{4}$

$MN = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

(Примечание: если бы угол $\angle MON$ был $60^\circ$, ответ был бы $MN = \frac{3\sqrt{3}}{2}$)

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ см.