Номер 4, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $A$ проведена прямая $b$, параллельная биссектрисе $BK$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $EF$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $A$. Через точки $E$, $F$ и $A$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $E_1$, $F_1$ и $A_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $AF$, если $AE = 8$ см, $A_1E_1 = 5$ см, $A_1F_1 = 20$ см.

3. Точка $M$ принадлежит грани $DD_1C_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 40). Через точку $M$ провели прямую, параллельную прямой $BD$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $BB_1C$.

Рис. 40

1.

Докажем, что прямые a и b скрещивающиеся. По определению, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны.

1) Докажем, что прямые a и b не пересекаются.
Прямая b проходит через точку A треугольника ABC и параллельна биссектрисе BK, которая лежит в плоскости треугольника. Следовательно, прямая b целиком лежит в плоскости (ABC). Прямая a по условию проходит через точку C, но не принадлежит плоскости (ABC). Это означает, что прямая a имеет с плоскостью (ABC) только одну общую точку – точку C. Если бы прямые a и b пересекались, то их точка пересечения должна была бы лежать как на прямой a, так и на прямой b. Поскольку все точки прямой b лежат в плоскости (ABC), точка пересечения должна лежать в этой плоскости. Единственная точка прямой a, лежащая в плоскости (ABC), – это точка C. Значит, если бы пересечение существовало, то это была бы точка C. Однако прямая b проходит через точку A и параллельна BK. В общем случае она не проходит через точку C. Таким образом, прямые a и b не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

2) Докажем, что прямые a и b не параллельны.
Предположим противное: пусть прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$). По условию, прямая b параллельна биссектрисе BK ($b \parallel BK$). Из нашего предположения ($a \parallel b$) и условия ($b \parallel BK$) по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $a \parallel BK$. Прямая BK лежит в плоскости (ABC). Прямая a проходит через точку C, которая также лежит в плоскости (ABC). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Но наша прямая a проходит через точку C плоскости (ABC). Если прямая проходит через точку плоскости и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама лежит в этой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу, что прямая a должна лежать в плоскости (ABC). Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая a не принадлежит плоскости треугольника. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые a и b не параллельны.

Поскольку прямые a и b не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.

1) Через две параллельные прямые $EE_1$ и $FF_1$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\gamma$. Так как точки E и F лежат на этих прямых (точнее, на прямой EF, которая является секущей для этих параллельных прямых), то вся прямая EF, а следовательно и отрезок EF, лежит в этой плоскости $\gamma$. Поскольку точка A принадлежит отрезку EF, она также лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $AA_1$ по условию параллельна прямой $EE_1$. Так как прямая $AA_1$ проходит через точку A, лежащую в плоскости $\gamma$, и параллельна прямой $EE_1$, лежащей в той же плоскости, то прямая $AA_1$ также целиком лежит в плоскости $\gamma$. Точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ являются точками пересечения прямых $EE_1$, $FF_1$ и $AA_1$ с плоскостью $\beta$. Так как все три прямые лежат в одной плоскости $\gamma$, то все их точки пересечения с плоскостью $\beta$ будут лежать на прямой пересечения этих двух плоскостей ($\gamma$ и $\beta$). Следовательно, точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две другие прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. В нашей задаче параллельные прямые $EE_1$, $AA_1$ и $FF_1$ пересекают прямые EF и $E_1F_1$. Следовательно, отношение отрезков, отсекаемых на прямой EF, равно отношению соответствующих отрезков на прямой $E_1F_1$: $ \frac{AE}{AF} = \frac{A_1E_1}{A_1F_1} $ Подставим известные значения в это соотношение: $ AE = 8 $ см, $ A_1E_1 = 5 $ см, $ A_1F_1 = 20 $ см. $ \frac{8}{AF} = \frac{5}{20} $ Упростим правую часть: $ \frac{8}{AF} = \frac{1}{4} $ Отсюда найдем AF: $ AF = 8 \cdot 4 = 32 $ см.

Ответ: $AF = 32$ см.

3.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через M параллельно BD, с плоскостью $BB_1C_1C$, воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

План построения:

1. Построим вспомогательную плоскость $\alpha$, которая проходит через точку M и параллельна плоскости основания куба (ABCD). Эта плоскость пересечет вертикальные ребра куба и образует в сечении квадрат, равный основанию.
2. Для построения плоскости $\alpha$, проведем через точку M в плоскости грани $DD_1C_1C$ прямую, параллельную ребру DC. Пусть эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в точке K. Точки M и K лежат в искомой плоскости $\alpha$.
3. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с целевой плоскостью $BB_1C_1$. Линией пересечения будет прямая, проходящая через точку K (так как K лежит на ребре $CC_1$, общем для обеих плоскостей) и параллельная ребру BC (так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости (ABCD), содержащей BC). Назовем эту прямую q. Эта прямая q лежит в плоскости $BB_1C_1$.
4. Заданная в условии прямая (назовем ее p) проходит через точку M и параллельна диагонали BD. Так как M лежит в плоскости $\alpha$, а BD параллельна этой плоскости, то вся прямая p лежит в плоскости $\alpha$.
5. Искомая точка пересечения прямой p с плоскостью $BB_1C_1$ должна лежать как на прямой p, так и на плоскости $BB_1C_1$. Поскольку прямая p целиком лежит в плоскости $\alpha$, а прямая q является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $BB_1C_1$, то искомая точка является точкой пересечения прямых p и q.
6. Таким образом, для нахождения искомой точки нужно в плоскости сечения $\alpha$ провести через точку M прямую p, параллельную BD, и найти ее точку пересечения P с прямой q (прямой, проходящей через K и параллельной BC).

Построение:

1. В грани $DD_1C_1C$ через точку M проводим отрезок MK, параллельный DC, где K - точка на ребре $CC_1$.
2. В грани $BB_1C_1C$ через точку K проводим прямую q, параллельную BC.
3. Строим прямую p, проходящую через точку M и параллельную диагонали BD.
4. Точка P, в которой пересекаются прямые p и q, и является искомой точкой пересечения прямой p с плоскостью $BB_1C_1$.

Ответ: Описание и план построения точки P приведены выше.