Страница 41 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 37). Точка $M$ принадлежит ребру $BB_1$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $A_1B_1C_1$ и $MCK$.

Рис. 37

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 38) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рёбрам $SA$, $BC$ и $SB$ соответственно.

Рис. 38

3. Постройте сечение призмы $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 39) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $B$ и точку $P$, принадлежащую грани $C_1CD_1D$.

Рис. 39

1.

Для построения прямой пересечения плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(MCK)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.

1. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямые $MC$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$. Так как эти прямые, в общем случае, не параллельны, они пересекаются. Продлим отрезки $MC$ и $B_1C_1$ до их пересечения в точке $E$.
   • Точка $E$ лежит на прямой $MC$, следовательно, $E \in (MCK)$.
   • Точка $E$ лежит на прямой $B_1C_1$, которая принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, следовательно, $E \in (A_1B_1C_1)$.
   Таким образом, точка $E$ является одной из точек искомой прямой пересечения.
2. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Прямые $CK$ и $C_1D_1$ лежат в одной плоскости $(CDD_1C_1)$. Продлим отрезки $CK$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $F$.
   • Точка $F$ лежит на прямой $CK$, следовательно, $F \in (MCK)$.
   • Точка $F$ лежит на прямой $C_1D_1$, которая принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, следовательно, $F \in (A_1B_1C_1)$.
   Таким образом, точка $F$ является второй точкой прямой пересечения.
3. Прямая, проходящая через точки $E$ и $F$, является прямой пересечения плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(MCK)$.

Построение:
1. В плоскости грани $(BCC_1B_1)$ строим прямую $MC$ и прямую $B_1C_1$. Находим их точку пересечения $E = MC \cap B_1C_1$.
2. В плоскости грани $(CDD_1C_1)$ строим прямую $CK$ и прямую $D_1C_1$. Находим их точку пересечения $F = CK \cap D_1C_1$.
3. Проводим прямую через точки $E$ и $F$. Прямая $EF$ является искомой.

Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $EF$, где $E$ — точка пересечения прямых $MC$ и $B_1C_1$, а $F$ — точка пересечения прямых $CK$ и $D_1C_1$.

2.

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $(MPK)$ найдём линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Будем использовать метод следов.

1. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $SA$ и $SB$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(SAB)$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(SAB)$ и одной из сторон сечения.
2. Аналогично, точки $K$ и $P$ лежат на рёбрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(SBC)$. Следовательно, отрезок $KP$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(SBC)$ и второй стороной сечения.
3. Для нахождения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $(ABC)$, найдем след секущей плоскости на плоскости основания. Для этого:
   • В плоскости грани $(SAB)$ продлим прямую $MK$ (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с прямой $AB$ (лежащей в плоскости основания). Обозначим точку их пересечения $E$. Так как $E \in MK$, то $E \in (MPK)$. Так как $E \in AB$, то $E \in (ABC)$.
   • Точка $P$ также принадлежит обеим плоскостям: $P \in (MPK)$ по условию и $P \in (ABC)$, так как $P \in BC$.
   • Следовательно, прямая $EP$ является следом секущей плоскости $(MPK)$ на плоскости основания $(ABC)$.
4. Прямая $EP$ пересекает ребро $AC$ в некоторой точке $N$. Отрезок $PN$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(ABC)$ и третьей стороной сечения.
5. Точки $M$ и $N$ лежат в одной грани $(SAC)$ (на рёбрах $SA$ и $AC$ соответственно). Соединив их, получим отрезок $MN$ — четвёртую сторону сечения.

В результате получаем четырёхугольник $MKPN$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MKPN$, где $N$ — точка пересечения прямой $EP$ с ребром $AC$, а $E$ — точка пересечения прямых $MK$ и $AB$.

3.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, B$ и $P$, где $P \in (CDD_1C_1)$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы.

1. Точки $A$ и $B$ являются вершинами призмы и лежат в секущей плоскости $(ABP)$. Следовательно, ребро $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Для построения линии сечения на грани $CDD_1C_1$ воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(ABP)$ с плоскостью грани $(CDD_1C_1)$.
   • В плоскости основания $(ABCD)$ продлим прямые $AB$ (которая лежит в секущей плоскости) и $CD$ (которая лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$). Если $AB$ не параллельна $CD$, они пересекутся в точке $E$.
   • Точка $E$ принадлежит прямой $AB$, значит $E \in (ABP)$.
   • Точка $E$ принадлежит прямой $CD$, значит $E \in (CDD_1C_1)$.
   • Таким образом, точка $E$ лежит на линии пересечения плоскостей $(ABP)$ и $(CDD_1C_1)$.
3. Точка $P$ по условию также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая $EP$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $(CDD_1C_1)$.
4. Прямая $EP$ пересекает рёбра грани $CDD_1C_1$. Пусть она пересекает рёбра $DD_1$ и $CC_1$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Тогда отрезок $QR$ — это сторона сечения, лежащая на грани $CDD_1C_1$.
   (Примечание: если $AB \parallel CD$, то след на грани $(CDD_1C_1)$ строится как прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $AB$).
5. Теперь у нас есть точки сечения на боковых рёбрах. Соединим их с вершинами $A$ и $B$:
   • Точки $A$ и $Q$ лежат в плоскости грани $(ADD_1A_1)$. Отрезок $AQ$ — следующая сторона сечения.
   • Точки $B$ и $R$ лежат в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Отрезок $BR$ — последняя сторона сечения.

Искомым сечением является четырёхугольник $ABRQ$.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $ABRQ$, где точки $Q$ и $R$ являются точками пересечения прямой $EP$ с рёбрами $DD_1$ и $CC_1$ соответственно, а точка $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $A$ проведена прямая $b$, параллельная биссектрисе $BK$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $EF$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $A$. Через точки $E$, $F$ и $A$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $E_1$, $F_1$ и $A_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $AF$, если $AE = 8$ см, $A_1E_1 = 5$ см, $A_1F_1 = 20$ см.

3. Точка $M$ принадлежит грани $DD_1C_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 40). Через точку $M$ провели прямую, параллельную прямой $BD$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $BB_1C$.

Рис. 40

1.

Докажем, что прямые a и b скрещивающиеся. По определению, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны.

1) Докажем, что прямые a и b не пересекаются.
Прямая b проходит через точку A треугольника ABC и параллельна биссектрисе BK, которая лежит в плоскости треугольника. Следовательно, прямая b целиком лежит в плоскости (ABC). Прямая a по условию проходит через точку C, но не принадлежит плоскости (ABC). Это означает, что прямая a имеет с плоскостью (ABC) только одну общую точку – точку C. Если бы прямые a и b пересекались, то их точка пересечения должна была бы лежать как на прямой a, так и на прямой b. Поскольку все точки прямой b лежат в плоскости (ABC), точка пересечения должна лежать в этой плоскости. Единственная точка прямой a, лежащая в плоскости (ABC), – это точка C. Значит, если бы пересечение существовало, то это была бы точка C. Однако прямая b проходит через точку A и параллельна BK. В общем случае она не проходит через точку C. Таким образом, прямые a и b не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

2) Докажем, что прямые a и b не параллельны.
Предположим противное: пусть прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$). По условию, прямая b параллельна биссектрисе BK ($b \parallel BK$). Из нашего предположения ($a \parallel b$) и условия ($b \parallel BK$) по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $a \parallel BK$. Прямая BK лежит в плоскости (ABC). Прямая a проходит через точку C, которая также лежит в плоскости (ABC). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Но наша прямая a проходит через точку C плоскости (ABC). Если прямая проходит через точку плоскости и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама лежит в этой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу, что прямая a должна лежать в плоскости (ABC). Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая a не принадлежит плоскости треугольника. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые a и b не параллельны.

Поскольку прямые a и b не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.

1) Через две параллельные прямые $EE_1$ и $FF_1$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\gamma$. Так как точки E и F лежат на этих прямых (точнее, на прямой EF, которая является секущей для этих параллельных прямых), то вся прямая EF, а следовательно и отрезок EF, лежит в этой плоскости $\gamma$. Поскольку точка A принадлежит отрезку EF, она также лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $AA_1$ по условию параллельна прямой $EE_1$. Так как прямая $AA_1$ проходит через точку A, лежащую в плоскости $\gamma$, и параллельна прямой $EE_1$, лежащей в той же плоскости, то прямая $AA_1$ также целиком лежит в плоскости $\gamma$. Точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ являются точками пересечения прямых $EE_1$, $FF_1$ и $AA_1$ с плоскостью $\beta$. Так как все три прямые лежат в одной плоскости $\gamma$, то все их точки пересечения с плоскостью $\beta$ будут лежать на прямой пересечения этих двух плоскостей ($\gamma$ и $\beta$). Следовательно, точки $E_1$, $F_1$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две другие прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. В нашей задаче параллельные прямые $EE_1$, $AA_1$ и $FF_1$ пересекают прямые EF и $E_1F_1$. Следовательно, отношение отрезков, отсекаемых на прямой EF, равно отношению соответствующих отрезков на прямой $E_1F_1$: $ \frac{AE}{AF} = \frac{A_1E_1}{A_1F_1} $ Подставим известные значения в это соотношение: $ AE = 8 $ см, $ A_1E_1 = 5 $ см, $ A_1F_1 = 20 $ см. $ \frac{8}{AF} = \frac{5}{20} $ Упростим правую часть: $ \frac{8}{AF} = \frac{1}{4} $ Отсюда найдем AF: $ AF = 8 \cdot 4 = 32 $ см.

Ответ: $AF = 32$ см.

3.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через M параллельно BD, с плоскостью $BB_1C_1C$, воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

План построения:

1. Построим вспомогательную плоскость $\alpha$, которая проходит через точку M и параллельна плоскости основания куба (ABCD). Эта плоскость пересечет вертикальные ребра куба и образует в сечении квадрат, равный основанию.
2. Для построения плоскости $\alpha$, проведем через точку M в плоскости грани $DD_1C_1C$ прямую, параллельную ребру DC. Пусть эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в точке K. Точки M и K лежат в искомой плоскости $\alpha$.
3. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с целевой плоскостью $BB_1C_1$. Линией пересечения будет прямая, проходящая через точку K (так как K лежит на ребре $CC_1$, общем для обеих плоскостей) и параллельная ребру BC (так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости (ABCD), содержащей BC). Назовем эту прямую q. Эта прямая q лежит в плоскости $BB_1C_1$.
4. Заданная в условии прямая (назовем ее p) проходит через точку M и параллельна диагонали BD. Так как M лежит в плоскости $\alpha$, а BD параллельна этой плоскости, то вся прямая p лежит в плоскости $\alpha$.
5. Искомая точка пересечения прямой p с плоскостью $BB_1C_1$ должна лежать как на прямой p, так и на плоскости $BB_1C_1$. Поскольку прямая p целиком лежит в плоскости $\alpha$, а прямая q является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $BB_1C_1$, то искомая точка является точкой пересечения прямых p и q.
6. Таким образом, для нахождения искомой точки нужно в плоскости сечения $\alpha$ провести через точку M прямую p, параллельную BD, и найти ее точку пересечения P с прямой q (прямой, проходящей через K и параллельной BC).

Построение:

1. В грани $DD_1C_1C$ через точку M проводим отрезок MK, параллельный DC, где K - точка на ребре $CC_1$.
2. В грани $BB_1C_1C$ через точку K проводим прямую q, параллельную BC.
3. Строим прямую p, проходящую через точку M и параллельную диагонали BD.
4. Точка P, в которой пересекаются прямые p и q, и является искомой точкой пересечения прямой p с плоскостью $BB_1C_1$.

Ответ: Описание и план построения точки P приведены выше.