Страница 39 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Сторона большего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота пирамиды — $4\sqrt{6}$ см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 18 см и 6 см, а её высота — 2 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны $45^\circ$, а площади оснований равны 12 см$^2$ и 40 см$^2$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а её высота равна высоте усечённой пирамиды ($h$).

1. Найдём диагональ большего основания ($d_1$). Так как в основании лежит квадрат со стороной $a_1 = 10$ см, его диагональ равна:

$d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на плоскость большего основания и высотой усечённой пирамиды. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$ по условию. Высота пирамиды $h = 4\sqrt{6}$ см является катетом, противолежащим этому углу. Проекция бокового ребра на основание (второй катет) равна разности полудиагоналей оснований.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна $x = \frac{d_1 - d_2}{2}$.

Из прямоугольного треугольника находим эту проекцию:

$x = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6}{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Теперь мы можем найти диагональ меньшего основания $d_2$:

$\frac{10\sqrt{2} - d_2}{2} = 4\sqrt{2}$

$10\sqrt{2} - d_2 = 8\sqrt{2}$

$d_2 = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

4. Площадь диагонального сечения (трапеции) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

$S_{сеч} = \frac{10\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} = 24\sqrt{12} = 24\sqrt{4 \cdot 3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдём периметры оснований. Основания — правильные треугольники со сторонами $a_1 = 18$ см и $a_2 = 6$ см.

$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.

2. Найдём апофему усечённой пирамиды $l_a$. Для этого рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и апофемы оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где катеты — это высота пирамиды $h$ и разность радиусов вписанных окружностей (апофем оснований) $r_1 - r_2$, а гипотенуза — апофема $l_a$.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

$r_2 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды $h = 2$ см.

$l_a^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2 = 2^2 + (3\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 4 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$.

$l_a = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(54 + 18) \cdot 4 = \frac{72}{2} \cdot 4 = 36 \cdot 4 = 144$ см².

Ответ: $144$ см².

3.

Если все двугранные углы при рёбрах одного из оснований усечённой пирамиды равны, то площадь её боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_1 - S_2}{\cos(\alpha)}$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, а $\alpha$ — величина двугранного угла при ребре этого основания.

По условию задачи:

$S_1 = 40$ см² (площадь большего основания).

$S_2 = 12$ см² (площадь меньшего основания).

Двугранный угол при рёбрах большего основания $\alpha = 45^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{40 - 12}{\cos(45^\circ)} = \frac{28}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{28 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{56}{\sqrt{2}} = \frac{56\sqrt{2}}{2} = 28\sqrt{2}$ см².

Ответ: $28\sqrt{2}$ см².

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $AD, DC, BC$ и $AB$ тетраэдра $DABC$ в точках $E, K, P$ и $M$ соответственно. Известно, что $AE : ED = 3 : 2$, $DK : KC = 4 : 5$, $CP : PB = 5 : 1$. Найдите отношение $AM : MB$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $SB$ и $AC$ ортоцентрического тетраэдра $SABC$, если $SA = 12$ см, $BC = 16$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $SABC$, если $AS = 8$ см, $SC = 6$ см, $CA = \sqrt{62}$ см.

1.

Для решения этой задачи воспользуемся пространственной теоремой Менелая для тетраэдра. Эта теорема гласит, что если плоскость пересекает рёбра тетраэдра $DABC$ $AD, DC, CB, BA$ в точках $E, K, P, M$ соответственно, то выполняется следующее соотношение:

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Нам даны следующие отношения:

• $AE : ED = 3 : 2 \implies \frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}$
• $DK : KC = 4 : 5 \implies \frac{DK}{KC} = \frac{4}{5}$
• $CP : PB = 5 : 1 \implies \frac{CP}{PB} = \frac{5}{1}$

Пусть искомое отношение $AM : MB = x$, тогда $\frac{AM}{MB} = x$, а $\frac{BM}{MA} = \frac{1}{x}$.

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Выполним умножение дробей:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

$\frac{60}{10} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

$6 \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Отсюда находим отношение $\frac{BM}{MA}$:

$\frac{BM}{MA} = \frac{1}{6}$

Нам нужно найти отношение $AM : MB$, которое является обратным к найденному:

$\frac{AM}{MB} = \frac{6}{1} = 6$

Таким образом, отношение $AM : MB = 6 : 1$.

Ответ: $6 : 1$.

2.

Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все четыре высоты пересекаются в одной точке. Важным свойством ортоцентрического тетраэдра является равенство сумм квадратов длин противоположных рёбер:

$SA^2 + BC^2 = SB^2 + AC^2 = SC^2 + AB^2$

Пусть $M$ — середина ребра $SB$, а $N$ — середина ребра $AC$. Нам нужно найти расстояние $MN$.

Существует общая формула для квадрата расстояния между серединами двух рёбер тетраэдра $V_1V_2V_3V_4$. Расстояние $d$ между серединами рёбер $V_1V_2$ и $V_3V_4$ вычисляется как:

$d^2 = \frac{1}{4}(|V_1V_3|^2 + |V_1V_4|^2 + |V_2V_3|^2 + |V_2V_4|^2 - |V_1V_2|^2 - |V_3V_4|^2)$

В нашем случае рёбра — это $SB$ и $AC$. Примем $V_1=S, V_2=B, V_3=A, V_4=C$. Тогда формула для квадрата расстояния $MN$ примет вид:

$MN^2 = \frac{1}{4}(SA^2 + SC^2 + BA^2 + BC^2 - SB^2 - AC^2)$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать свойство ортоцентрического тетраэдра:

$MN^2 = \frac{1}{4}((SA^2 + BC^2) + (SC^2 + AB^2) - (SB^2 + AC^2))$

Так как $SA^2 + BC^2 = SC^2 + AB^2 = SB^2 + AC^2$, мы можем заменить все эти суммы на одну и ту же величину, например, $SA^2 + BC^2$:

$MN^2 = \frac{1}{4}((SA^2 + BC^2) + (SA^2 + BC^2) - (SA^2 + BC^2))$

$MN^2 = \frac{1}{4}(SA^2 + BC^2)$

Теперь подставим известные значения $SA = 12$ см и $BC = 16$ см:

$MN^2 = \frac{1}{4}(12^2 + 16^2) = \frac{1}{4}(144 + 256) = \frac{1}{4}(400) = 100$

Отсюда находим расстояние $MN$:

$MN = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

3.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Следствием этого является то, что противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.

В условии даны длины рёбер одной грани, треугольника $ASC$: $AS = 8$ см, $SC = 6$ см, $CA = \sqrt{62}$ см. Так как все грани равны, то и все они являются треугольниками со сторонами $8, 6, \sqrt{62}$.

Определим длины всех шести рёбер тетраэдра, учитывая равенство противоположных рёбер:

• $AS = 8$ см, противоположное ребро $BC = 8$ см.
• $SC = 6$ см, противоположное ребро $AB = 6$ см.
• $CA = \sqrt{62}$ см, противоположное ребро $SB = \sqrt{62}$ см.

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. В тетраэдре четыре медианы.

Длина медианы $m_S$, проведённой из вершины $S$ к грани $ABC$, вычисляется по формуле:

$m_S^2 = \frac{SA^2 + SB^2 + SC^2}{3} - \frac{AB^2 + BC^2 + CA^2}{9}$

Подставим значения длин рёбер:

• $SA^2 = 8^2 = 64$
• $SB^2 = (\sqrt{62})^2 = 62$
• $SC^2 = 6^2 = 36$
• $AB^2 = 6^2 = 36$
• $BC^2 = 8^2 = 64$
• $CA^2 = (\sqrt{62})^2 = 62$

Вычислим сумму квадратов рёбер, выходящих из вершины $S$:

$SA^2 + SB^2 + SC^2 = 64 + 62 + 36 = 162$

Вычислим сумму квадратов сторон грани $ABC$:

$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 36 + 64 + 62 = 162$

Теперь подставим эти значения в формулу для квадрата медианы:

$m_S^2 = \frac{162}{3} - \frac{162}{9} = 54 - 18 = 36$

Длина медианы $m_S$ равна:

$m_S = \sqrt{36} = 6$ см.

Для равногранного тетраэдра все четыре медианы равны. Таким образом, длина каждой из четырёх медиан тетраэдра равна 6 см.

Ответ: все медианы равны $6$ см.