Номер 23, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $AD, DC, BC$ и $AB$ тетраэдра $DABC$ в точках $E, K, P$ и $M$ соответственно. Известно, что $AE : ED = 3 : 2$, $DK : KC = 4 : 5$, $CP : PB = 5 : 1$. Найдите отношение $AM : MB$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $SB$ и $AC$ ортоцентрического тетраэдра $SABC$, если $SA = 12$ см, $BC = 16$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $SABC$, если $AS = 8$ см, $SC = 6$ см, $CA = \sqrt{62}$ см.

1.

Для решения этой задачи воспользуемся пространственной теоремой Менелая для тетраэдра. Эта теорема гласит, что если плоскость пересекает рёбра тетраэдра $DABC$ $AD, DC, CB, BA$ в точках $E, K, P, M$ соответственно, то выполняется следующее соотношение:

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Нам даны следующие отношения:

• $AE : ED = 3 : 2 \implies \frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}$
• $DK : KC = 4 : 5 \implies \frac{DK}{KC} = \frac{4}{5}$
• $CP : PB = 5 : 1 \implies \frac{CP}{PB} = \frac{5}{1}$

Пусть искомое отношение $AM : MB = x$, тогда $\frac{AM}{MB} = x$, а $\frac{BM}{MA} = \frac{1}{x}$.

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Выполним умножение дробей:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

$\frac{60}{10} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

$6 \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Отсюда находим отношение $\frac{BM}{MA}$:

$\frac{BM}{MA} = \frac{1}{6}$

Нам нужно найти отношение $AM : MB$, которое является обратным к найденному:

$\frac{AM}{MB} = \frac{6}{1} = 6$

Таким образом, отношение $AM : MB = 6 : 1$.

Ответ: $6 : 1$.

2.

Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все четыре высоты пересекаются в одной точке. Важным свойством ортоцентрического тетраэдра является равенство сумм квадратов длин противоположных рёбер:

$SA^2 + BC^2 = SB^2 + AC^2 = SC^2 + AB^2$

Пусть $M$ — середина ребра $SB$, а $N$ — середина ребра $AC$. Нам нужно найти расстояние $MN$.

Существует общая формула для квадрата расстояния между серединами двух рёбер тетраэдра $V_1V_2V_3V_4$. Расстояние $d$ между серединами рёбер $V_1V_2$ и $V_3V_4$ вычисляется как:

$d^2 = \frac{1}{4}(|V_1V_3|^2 + |V_1V_4|^2 + |V_2V_3|^2 + |V_2V_4|^2 - |V_1V_2|^2 - |V_3V_4|^2)$

В нашем случае рёбра — это $SB$ и $AC$. Примем $V_1=S, V_2=B, V_3=A, V_4=C$. Тогда формула для квадрата расстояния $MN$ примет вид:

$MN^2 = \frac{1}{4}(SA^2 + SC^2 + BA^2 + BC^2 - SB^2 - AC^2)$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать свойство ортоцентрического тетраэдра:

$MN^2 = \frac{1}{4}((SA^2 + BC^2) + (SC^2 + AB^2) - (SB^2 + AC^2))$

Так как $SA^2 + BC^2 = SC^2 + AB^2 = SB^2 + AC^2$, мы можем заменить все эти суммы на одну и ту же величину, например, $SA^2 + BC^2$:

$MN^2 = \frac{1}{4}((SA^2 + BC^2) + (SA^2 + BC^2) - (SA^2 + BC^2))$

$MN^2 = \frac{1}{4}(SA^2 + BC^2)$

Теперь подставим известные значения $SA = 12$ см и $BC = 16$ см:

$MN^2 = \frac{1}{4}(12^2 + 16^2) = \frac{1}{4}(144 + 256) = \frac{1}{4}(400) = 100$

Отсюда находим расстояние $MN$:

$MN = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

3.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Следствием этого является то, что противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.

В условии даны длины рёбер одной грани, треугольника $ASC$: $AS = 8$ см, $SC = 6$ см, $CA = \sqrt{62}$ см. Так как все грани равны, то и все они являются треугольниками со сторонами $8, 6, \sqrt{62}$.

Определим длины всех шести рёбер тетраэдра, учитывая равенство противоположных рёбер:

• $AS = 8$ см, противоположное ребро $BC = 8$ см.
• $SC = 6$ см, противоположное ребро $AB = 6$ см.
• $CA = \sqrt{62}$ см, противоположное ребро $SB = \sqrt{62}$ см.

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. В тетраэдре четыре медианы.

Длина медианы $m_S$, проведённой из вершины $S$ к грани $ABC$, вычисляется по формуле:

$m_S^2 = \frac{SA^2 + SB^2 + SC^2}{3} - \frac{AB^2 + BC^2 + CA^2}{9}$

Подставим значения длин рёбер:

• $SA^2 = 8^2 = 64$
• $SB^2 = (\sqrt{62})^2 = 62$
• $SC^2 = 6^2 = 36$
• $AB^2 = 6^2 = 36$
• $BC^2 = 8^2 = 64$
• $CA^2 = (\sqrt{62})^2 = 62$

Вычислим сумму квадратов рёбер, выходящих из вершины $S$:

$SA^2 + SB^2 + SC^2 = 64 + 62 + 36 = 162$

Вычислим сумму квадратов сторон грани $ABC$:

$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 36 + 64 + 62 = 162$

Теперь подставим эти значения в формулу для квадрата медианы:

$m_S^2 = \frac{162}{3} - \frac{162}{9} = 54 - 18 = 36$

Длина медианы $m_S$ равна:

$m_S = \sqrt{36} = 6$ см.

Для равногранного тетраэдра все четыре медианы равны. Таким образом, длина каждой из четырёх медиан тетраэдра равна 6 см.

Ответ: все медианы равны $6$ см.