Номер 22, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Сторона большего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота пирамиды — $4\sqrt{6}$ см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 18 см и 6 см, а её высота — 2 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны $45^\circ$, а площади оснований равны 12 см$^2$ и 40 см$^2$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а её высота равна высоте усечённой пирамиды ($h$).

1. Найдём диагональ большего основания ($d_1$). Так как в основании лежит квадрат со стороной $a_1 = 10$ см, его диагональ равна:

$d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на плоскость большего основания и высотой усечённой пирамиды. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$ по условию. Высота пирамиды $h = 4\sqrt{6}$ см является катетом, противолежащим этому углу. Проекция бокового ребра на основание (второй катет) равна разности полудиагоналей оснований.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна $x = \frac{d_1 - d_2}{2}$.

Из прямоугольного треугольника находим эту проекцию:

$x = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6}{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Теперь мы можем найти диагональ меньшего основания $d_2$:

$\frac{10\sqrt{2} - d_2}{2} = 4\sqrt{2}$

$10\sqrt{2} - d_2 = 8\sqrt{2}$

$d_2 = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

4. Площадь диагонального сечения (трапеции) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

$S_{сеч} = \frac{10\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} = 24\sqrt{12} = 24\sqrt{4 \cdot 3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдём периметры оснований. Основания — правильные треугольники со сторонами $a_1 = 18$ см и $a_2 = 6$ см.

$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.

2. Найдём апофему усечённой пирамиды $l_a$. Для этого рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и апофемы оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где катеты — это высота пирамиды $h$ и разность радиусов вписанных окружностей (апофем оснований) $r_1 - r_2$, а гипотенуза — апофема $l_a$.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

$r_2 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды $h = 2$ см.

$l_a^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2 = 2^2 + (3\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 4 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$.

$l_a = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(54 + 18) \cdot 4 = \frac{72}{2} \cdot 4 = 36 \cdot 4 = 144$ см².

Ответ: $144$ см².

3.

Если все двугранные углы при рёбрах одного из оснований усечённой пирамиды равны, то площадь её боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_1 - S_2}{\cos(\alpha)}$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, а $\alpha$ — величина двугранного угла при ребре этого основания.

По условию задачи:

$S_1 = 40$ см² (площадь большего основания).

$S_2 = 12$ см² (площадь меньшего основания).

Двугранный угол при рёбрах большего основания $\alpha = 45^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{40 - 12}{\cos(45^\circ)} = \frac{28}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{28 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{56}{\sqrt{2}} = \frac{56\sqrt{2}}{2} = 28\sqrt{2}$ см².

Ответ: $28\sqrt{2}$ см².