Номер 18, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Геометрическое место точек пространства

1. Длина отрезка $MK$ равна 16 см. Найдите геометрическое место точек $X$, равноудалённых от точек $M$ и $K$ и таких, что $KX = 17$ см.

2. Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 20 см, 15 см и 7 см. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что каждая из прямых $XA$, $XB$ и $XC$ образует с плоскостью $ABC$ угол, равный $45^\circ$.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей $\beta$ и $\gamma$ и удалённых от плоскости $\gamma$ на 4 см.

1.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух данных точек M и K, — это плоскость α, перпендикулярная отрезку MK и проходящая через его середину, точку O.

По условию, длина отрезка MK равна 16 см. Следовательно, его середина O делит его на два отрезка: $OK = OM = \frac{MK}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Второе условие — это ГМТ X, для которых $KX = 17$ см. Это сфера с центром в точке K и радиусом $R = 17$ см.

Искомое ГМТ — это пересечение плоскости α и сферы. Расстояние от центра сферы (точки K) до плоскости α равно длине отрезка OK, то есть 8 см. Так как это расстояние меньше радиуса сферы ($8 < 17$), их пересечением является окружность.

Центр этой окружности — точка O, середина отрезка MK. Радиус окружности $r$ можно найти из прямоугольного треугольника KXO, где X — любая точка на окружности, O — центр окружности, а KO — перпендикуляр из центра сферы K на плоскость α. По теореме Пифагора:

$KX^2 = OK^2 + OX^2$

$r^2 = OX^2 = KX^2 - OK^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$r = \sqrt{225} = 15$ см.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в середине отрезка MK и радиусом 15 см, лежащая в плоскости, перпендикулярной отрезку MK.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка MK и радиусом 15 см, лежащая в плоскости, перпендикулярной отрезку MK.

2.

Пусть O — проекция точки X на плоскость ABC. Тогда по определению угла между прямой и плоскостью, углы $\angle XAO$, $\angle XBO$ и $\angle XCO$ — это углы между прямыми XA, XB, XC и плоскостью ABC соответственно. По условию, все эти углы равны 45°.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ (с прямым углом при вершине O, так как XO — перпендикуляр к плоскости ABC).

Так как углы $\angle XAO$, $\angle XBO$, $\angle XCO$ равны 45°, эти треугольники являются равнобедренными. Следовательно, $XO = OA$, $XO = OB$ и $XO = OC$.

Отсюда следует, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точка O в плоскости ABC равноудалена от вершин треугольника A, B и C. Такая точка является центром описанной около треугольника ABC окружности.

Найдем радиус R этой окружности ($R = OA = OB = OC$). Стороны треугольника: $a=15$ см, $b=7$ см, $c=20$ см. Найдем площадь треугольника S по формуле Герона. Полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+7+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 14 \cdot 1} = \sqrt{1764} = 42$ см².

Теперь найдем радиус описанной окружности R:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{15 \cdot 7 \cdot 20}{4 \cdot 42} = \frac{2100}{168} = 12.5$ см.

Так как $XO = OA = R$, то расстояние от точки X до плоскости ABC равно $XO = 12.5$ см.

Точка X лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр описанной окружности O. Таких точек две: одна над плоскостью, другая под ней, на расстоянии 12.5 см от неё.

Ответ: Две точки, симметричные относительно плоскости ABC и расположенные на перпендикуляре к этой плоскости, проходящем через центр описанной около треугольника ABC окружности, на расстоянии 12,5 см от этой плоскости.

3.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей β и γ, представляет собой две взаимно перпендикулярные биссекторные плоскости, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями β и γ.

Геометрическое место точек (ГМТ), удалённых от плоскости γ на 4 см, представляет собой две плоскости, параллельные плоскости γ и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии 4 см.

Искомое ГМТ должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Следовательно, мы ищем пересечение двух биссекторных плоскостей с двумя плоскостями, параллельными γ.

Каждая из двух биссекторных плоскостей пересекается с каждой из двух плоскостей, параллельных γ. Пересечением двух непараллельных плоскостей является прямая.

Таким образом, мы получаем:

• пересечение первой биссекторной плоскости с первой параллельной плоскостью (прямая 1);
• пересечение первой биссекторной плоскости со второй параллельной плоскостью (прямая 2);
• пересечение второй биссекторной плоскости с первой параллельной плоскостью (прямая 3);
• пересечение второй биссекторной плоскости со второй параллельной плоскостью (прямая 4).

Все эти четыре прямые будут параллельны линии пересечения исходных плоскостей β и γ.

Ответ: Четыре прямые, параллельные линии пересечения плоскостей β и γ.