Номер 17, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 17

Многогранный угол. Трёхгранный угол

1. Плоские углы $CKB$ и $AKC$ трёхгранного угла $KABC$ соответственно равны $115^\circ$ и $160^\circ$. Докажите, что плоский угол $AKB$ меньше $85^\circ$ и больше $45^\circ$.

2. Плоские углы $APB$ и $BPC$ трёхгранного угла $PABC$ соответственно равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Двугранный угол при ребре $PB$ равен $120^\circ$. Найдите плоский угол $APC$.

3. Ребро $MC$ тетраэдра $MABC$ равно $16\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $AMB$, если $\angle CMB = \angle AMB = 60^\circ$, $\cos\angle AMC = \frac{5}{8}$.

1.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами плоских углов трёхгранного угла.

Свойство 1: Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше $360^\circ$.
Для трёхгранного угла $KABC$ с вершиной $K$ и рёбрами $KA$, $KB$, $KC$ имеем:
$\angle AKB + \angle BKC + \angle AKC < 360^\circ$
Подставим известные значения $\angle CKB = 115^\circ$ и $\angle AKC = 160^\circ$ (порядок букв в названии угла не меняет его величину, поэтому $\angle BKC = \angle CKB$):
$\angle AKB + 115^\circ + 160^\circ < 360^\circ$
$\angle AKB + 275^\circ < 360^\circ$
$\angle AKB < 360^\circ - 275^\circ$
$\angle AKB < 85^\circ$

Свойство 2: Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Применим это свойство. Каждый из трёх плоских углов должен быть больше модуля разности двух других. Нас интересует угол $\angle AKB$.
$\angle AKB > |\angle AKC - \angle CKB|$
Подставим известные значения:
$\angle AKB > |160^\circ - 115^\circ|$
$\angle AKB > 45^\circ$

Объединяя полученные неравенства, получаем:
$45^\circ < \angle AKB < 85^\circ$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2.

Для нахождения плоского угла $\angle APC$ трёхгранного угла $PABC$ воспользуемся теоремой косинусов для трёхгранного угла. Пусть плоские углы при вершине $P$ равны $\alpha = \angle BPC = 60^\circ$, $\beta = \angle APB = 30^\circ$, а искомый угол $\gamma = \angle APC$. Двугранный угол при ребре $PB$ равен $\varphi = 120^\circ$.

Теорема косинусов для трёхгранного угла связывает три плоских угла и один двугранный угол между гранями двух из них:
$\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos \varphi$
В нашем случае формула выглядит так:
$\cos(\angle APC) = \cos(\angle BPC) \cos(\angle APB) + \sin(\angle BPC) \sin(\angle APB) \cos(\text{угол при ребре } PB)$

Подставим известные значения:
$\angle APB = 30^\circ$
$\angle BPC = 60^\circ$
Двугранный угол при ребре $PB$ равен $120^\circ$.

$\cos(\angle APC) = \cos(60^\circ) \cos(30^\circ) + \sin(60^\circ) \sin(30^\circ) \cos(120^\circ)$

Найдём значения тригонометрических функций:
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\angle APC) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$\cos(\angle APC) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
$\cos(\angle APC) = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Следовательно, плоский угол $\angle APC$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$.

3.

Расстояние от точки $C$ до плоскости $AMB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на эту плоскость. Обозначим это расстояние как $h$.

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной в точке $M$. Нам известны его плоские углы: $\angle CMB = 60^\circ$, $\angle AMB = 60^\circ$ и $\angle AMC$, косинус которого равен $\cos(\angle AMC) = \frac{5}{8}$.

План решения состоит из двух шагов:
1. Найти двугранный угол $\varphi$ между плоскостями $CMB$ и $AMB$ при ребре $MB$.
2. Используя этот угол, найти искомое расстояние.

Шаг 1: Нахождение двугранного угла.
Воспользуемся теоремой косинусов для трёхгранного угла с вершиной $M$. Пусть $\varphi$ — искомый двугранный угол при ребре $MB$.
$\cos(\angle AMC) = \cos(\angle CMB) \cos(\angle AMB) + \sin(\angle CMB) \sin(\angle AMB) \cos \varphi$
Подставим известные значения:
$\frac{5}{8} = \cos(60^\circ) \cos(60^\circ) + \sin(60^\circ) \sin(60^\circ) \cos \varphi$
$\frac{5}{8} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \varphi$
$\frac{5}{8} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cos \varphi$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей:
$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cos \varphi$
$\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{4} \cos \varphi$
$\frac{3}{8} = \frac{3}{4} \cos \varphi$
$\cos \varphi = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$
Следовательно, двугранный угол $\varphi$ равен $60^\circ$.

Шаг 2: Вычисление расстояния.
Проведём в плоскости $CMB$ перпендикуляр $CP$ к ребру $MB$. Точка $P$ лежит на прямой $MB$. Длина этого перпендикуляра находится из треугольника $CMB$:
$CP = MC \cdot \sin(\angle CMB) = 16\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24$ см.

Искомое расстояние $h$ от точки $C$ до плоскости $AMB$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где $CP$ — гипотенуза, а угол, противолежащий катету $h$, — это найденный нами двугранный угол $\varphi = 60^\circ$.
$h = CP \cdot \sin \varphi$
$h = 24 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.