Номер 10, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Точка K лежит вне плоскости равнобокой трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ и равноудалена от точек A и D. Точки E и F — середины оснований AD и BC соответственно. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости EFK.

2. Прямая KA перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AD = 15$ см, $\angle ABK = 30^\circ$. Найдите отрезок KC.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = AD$. На рёбрах AB и CD отметили точки F и P соответственно так, что $AF : FB = 3 : 2$, $CP : PD = 1 : 4$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой DF. В каком отношении секущая плоскость делит ребро $A_1D_1$?

1.

Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию точка $K$ равноудалена от точек $A$ и $D$, следовательно, $KA = KD$. Это означает, что треугольник $AKD$ является равнобедренным с основанием $AD$.
Точка $E$ — середина основания $AD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $KE$ является высотой треугольника $AKD$, и, значит, $KE \perp AD$.

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$. Отрезок $EF$, соединяющий середины оснований $AD$ и $BC$, является осью симметрии трапеции и перпендикулярен ее основаниям. Следовательно, $EF \perp AD$.

Мы имеем, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $KE$ и $EF$, лежащим в плоскости $EFK$ (они пересекаются в точке $E$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $EFK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $EFK$.

2.

Поскольку прямая $KA$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $KA \perp AB$ и $KA \perp AC$.

Из $KA \perp AB$ следует, что треугольник $KAB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle KAB$. Из этого треугольника мы можем найти длину катета $KA$:
$KA = AB \cdot \tan(\angle ABK) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

$ABCD$ — прямоугольник, поэтому треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ABC$. По теореме Пифагора найдем диагональ $AC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $BC = AD = 15$ см.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 15^2 = 16 \cdot 3 + 225 = 48 + 225 = 273$.

Из $KA \perp AC$ следует, что треугольник $KAC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle KAC$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $KC$:
$KC^2 = KA^2 + AC^2 = 4^2 + 273 = 16 + 273 = 289$.
$KC = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: $17$ см.

3.

Построение сечения:

1. Прямая $DF$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Секущая плоскость $\alpha$ по условию перпендикулярна прямой $DF$.
2. Так как прямая $DF$ лежит в плоскости основания $ABCD$, то плоскость $\alpha$, перпендикулярная $DF$, будет перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что секущая плоскость является "вертикальной", то есть все ее образующие прямые, соединяющие точки на нижнем и верхнем основаниях, параллельны боковым ребрам параллелепипеда (например, $AA_1$).
3. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABCD$ должна проходить через точку $P$ и быть перпендикулярной прямой $DF$. Построим в плоскости $ABCD$ прямую $l$, проходящую через $P$ перпендикулярно $DF$.
4. Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $l$ с ребром $AD$. Тогда отрезок $PQ$ является линией пересечения секущей плоскости с нижним основанием.
5. Так как плоскость сечения перпендикулярна основанию, для построения всего сечения достаточно поднять из точек $P$ и $Q$ перпендикуляры к плоскости основания до пересечения с ребрами верхнего основания. Проведем $PP_1 \parallel DD_1$ (где $P_1$ лежит на $C_1D_1$) и $QQ_1 \parallel AA_1$ (где $Q_1$ лежит на $A_1D_1$).
6. Соединив точки $P, Q, Q_1, P_1$, получим искомое сечение — прямоугольник $PQQ_1P_1$.

В каком отношении секущая плоскость делит ребро $A_1D_1$?

Чтобы найти это отношение, определим положение точки $Q$ на ребре $AD$. Для этого введем систему координат в плоскости основания $ABCD$. Пусть точка $D$ — начало координат $(0, 0)$, ось $DA$ — ось $Ox$, ось $DC$ — ось $Oy$.
Так как $AB = AD$, основание является квадратом. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $AB = AD = CD = BC = a$.
Из условия $AF : FB = 3:2$, имеем $AF = \frac{3}{5}AB = \frac{3}{5}a$.
Из условия $CP : PD = 1:4$, имеем $PD = \frac{4}{5}CD = \frac{4}{5}a$.
Найдем координаты точек:
$D(0, 0)$, $A(a, 0)$, $C(0, a)$.
Точка $F$ лежит на ребре $AB$. Координаты $A(a,0)$ и $B(a,a)$. $F$ имеет координаты $(a, \frac{3}{5}a)$.
Точка $P$ лежит на ребре $CD$ (оси $Oy$). Ее координата по $y$ равна длине отрезка $PD$. $P$ имеет координаты $(0, \frac{4}{5}a)$.

Прямая $DF$ проходит через точки $D(0,0)$ и $F(a, \frac{3}{5}a)$. Ее угловой коэффициент $k_{DF} = \frac{\frac{3}{5}a - 0}{a - 0} = \frac{3}{5}$.
Прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $DF$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{PQ} = -\frac{1}{k_{DF}} = -\frac{5}{3}$.
Уравнение прямой $PQ$ проходит через точку $P(0, \frac{4}{5}a)$ и имеет вид $y - y_P = k_{PQ}(x - x_P)$:
$y - \frac{4}{5}a = -\frac{5}{3}(x - 0)$.

Точка $Q$ является точкой пересечения этой прямой с ребром $AD$ (осью $Ox$), поэтому ее координата $y=0$. Подставим $y=0$ в уравнение прямой:
$0 - \frac{4}{5}a = -\frac{5}{3}x$
$\frac{4}{5}a = \frac{5}{3}x$
$x = \frac{4a}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12a}{25}$.

Координата $x$ точки $Q$ — это длина отрезка $DQ$. Итак, $DQ = \frac{12a}{25}$.
Длина ребра $AD = a$. Тогда $AQ = AD - DQ = a - \frac{12a}{25} = \frac{13a}{25}$.
Найдем отношение $AQ : QD = \frac{13a}{25} : \frac{12a}{25} = 13:12$.
Поскольку сечение $PQQ_1P_1$ перпендикулярно основанию, точка $Q_1$ делит ребро $A_1D_1$ в том же отношении, что и точка $Q$ делит ребро $AD$.
Следовательно, $A_1Q_1 : Q_1D_1 = 13:12$.

Ответ: Секущая плоскость делит ребро $A_1D_1$ в отношении $13:12$, считая от вершины $A_1$.