Номер 8, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Изображения плоских и пространственных фигур

1. На рисунке 33 точки $A$, $B$, $B_1$ — вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $A_1D_1$. Постройте изображение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Окружность касается сторон угла $KEP$ в точках $K$ и $P$. Прямая $c$, лежащая в плоскости $KEP$, перпендикулярна прямой $KP$ и проходит через точку $N$. На рисунке 34 точки $K_1$, $P_1$, $E_1$ и $N_1$ — изображения точек $K$, $P$, $E$ и $D$ соответственно. Постройте изображение прямой $c$.

Рис. 33

Рис. 34

3. В равнобедренном треугольнике $NDK$ ($ND = DK$) сторона $ND$ равна $12 \text{ см}$, а высота $DF = 4\sqrt{5} \text{ см}$. В треугольник $NDK$ вписан ромб $NACB$ так, что точки $A$, $C$ и $B$ принадлежат сторонам $ND$, $DK$ и $NK$ соответственно. На рисунке 35 треугольник $N_1D_1K_1$ — изображение треугольника $NDK$. Постройте изображение ромба $NACB$.

Рис. 35

1. На рисунке 33 точки A, B, B_1 — вершины куба ABCDA_1B_1C_1D_1, точка K — середина ребра A_1D_1. Постройте изображение куба ABCDA_1B_1C_1D_1.

Изображением куба в параллельной проекции является параллелепипед. Для его построения воспользуемся векторным методом, основываясь на заданных точках $A$, $B$, $B_1$ и $K$.

1. Соединим точки $A$ и $B$, получив изображение ребра $AB$.
2. Соединим точки $B$ и $B_1$, получив изображение ребра $BB_1$. Вектор $\vec{BB_1}$ задает направление и длину боковых ребер куба.
3. Построим вершину $A_1$. Так как $AA_1B_1B$ — грань куба (квадрат), то $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. Отложим от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{BB_1}$, и получим точку $A_1$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Получили изображение грани $AA_1B_1B$.
5. Используем данную точку $K$ — середину ребра $A_1D_1$. Это означает, что $\vec{A_1D_1} = 2\vec{A_1K}$. Построим вектор $\vec{A_1K}$, соединив точки $A_1$ и $K$.
6. Построим вершину $D_1$. Отложим от точки $A_1$ вектор, равный $2\vec{A_1K}$, и получим точку $D_1$.
7. Теперь у нас есть три вершины верхней грани: $A_1$, $B_1$, $D_1$. Построим четвертую вершину $C_1$. В параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ имеем $\vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1}$. Отложим от точки $B_1$ вектор, равный вектору $\vec{A_1D_1}$, и получим точку $C_1$.
8. Соединим $A_1, B_1, C_1, D_1$, получив изображение верхней грани куба.
9. Для построения нижней грани $ABCD$ опустим из вершин $C_1$ и $D_1$ векторы, равные вектору $\vec{A_1A}$ (противоположному $\vec{AA_1}$).
10. Построим вершину $C$: $\vec{C_1C} = \vec{A_1A}$. Отложим от точки $C_1$ вектор $\vec{A_1A}$ и получим точку $C$.
11. Построим вершину $D$: $\vec{D_1D} = \vec{A_1A}$. Отложим от точки $D_1$ вектор $\vec{A_1A}$ и получим точку $D$.
12. Соединим вершины $A, B, C, D$, получив нижнюю грань. Также соединим боковые ребра $CC_1$ и $DD_1$.
13. Сделаем невидимые ребра ($AD$, $DC$, $DD_1$) штриховыми линиями.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам. В результате получается изображение параллелепипеда, являющееся изображением куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Окружность касается сторон угла KEP в точках K и P. Прямая c, лежащая в плоскости KEP, перпендикулярна прямой KP и проходит через точку N. На рисунке 34 точки K_1, P_1, E_1 и N_1 — изображения точек K, P, E и N соответственно. Постройте изображение прямой c.

1. Рассмотрим исходную фигуру в плоскости $KEP$. Так как окружность касается сторон угла $KEP$ в точках $K$ и $P$, то отрезки касательных, проведенных из одной точки $E$ к окружности, равны: $EK = EP$.
2. Следовательно, треугольник $KEP$ является равнобедренным с основанием $KP$.
3. Проведем в треугольнике $KEP$ медиану $EM$ к основанию $KP$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, $EM \perp KP$.
4. По условию задачи, прямая $c$ лежит в той же плоскости и также перпендикулярна прямой $KP$ ($c \perp KP$).
5. Две прямые ($c$ и $EM$), перпендикулярные третьей прямой ($KP$) в одной плоскости, параллельны между собой. Таким образом, $c \parallel EM$.
6. Параллельная проекция сохраняет свойство параллельности прямых. Это означает, что изображение прямой $c$ (обозначим его $c_1$) должно быть параллельно изображению прямой $EM$ (обозначим его $E_1M_1$).
7. Построим изображение прямой $c_1$:

1. На изображении (Рис. 34) соединим точки $K_1$ и $P_1$.
2. Поскольку $M$ — середина отрезка $KP$, ее изображение $M_1$ будет серединой отрезка $K_1P_1$ (так как при параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой). Найдем точку $M_1$ как середину $K_1P_1$.
3. Проведем прямую через точки $E_1$ и $M_1$. Это будет изображение прямой $EM$.
4. По условию, прямая $c$ проходит через точку $N$. Значит, ее изображение $c_1$ должно проходить через точку $N_1$.
5. Проведем через точку $N_1$ прямую $c_1$, параллельную прямой $E_1M_1$.

Ответ: Искомое изображение прямой $c$ — это прямая $c_1$, проходящая через точку $N_1$ параллельно прямой $E_1M_1$, где $M_1$ — середина отрезка $K_1P_1$.

3. В равнобедренном треугольнике NDK (ND = DK) сторона ND равна 12 см, а высота DF — 4√5 см. В треугольник NDK вписан ромб NACB так, что точки A, C и B принадлежат сторонам ND, DK и NK соответственно. На рисунке 35 треугольник N_1D_1K_1 — изображение треугольника NDK. Постройте изображение ромба NACB.

Для построения изображения ромба необходимо найти, в каком отношении его вершины делят стороны треугольника $NDK$. Так как при параллельной проекции отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых (или на одной прямой), сохраняется, мы сможем построить изображение ромба на данном изображении треугольника.

1. Найдем размеры треугольника $NDK$.
- $NDK$ — равнобедренный треугольник ($ND=DK=12$), $DF$ — высота к основанию $NK$. Следовательно, $DF$ также является медианой, и $F$ — середина $NK$.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник $NFD$. По теореме Пифагора: $NF^2 + DF^2 = ND^2$.
- $NF^2 + (4\sqrt{5})^2 = 12^2$
- $NF^2 + 16 \cdot 5 = 144$
- $NF^2 + 80 = 144$
- $NF^2 = 64$, откуда $NF = 8$ см.
- Основание $NK = 2 \cdot NF = 2 \cdot 8 = 16$ см.

2. Найдем положение вершин ромба.
- Ромб $NACB$ имеет вершину $N$, общую с треугольником. Вершина $A$ лежит на $ND$, $B$ на $NK$, $C$ на $DK$.
- Из определения ромба $NACB$ следует, что его стороны равны ($NA=AC=CB=BN$) и противоположные стороны параллельны ($NA \parallel CB$ и $AC \parallel NB$).
- Пусть сторона ромба равна $x$. Тогда $NA = NB = x$.
- Поскольку $A$ лежит на $ND$ и $B$ на $NK$, то сторона $NA$ лежит на $ND$, а $NB$ — на $NK$.
- Так как $AC \parallel NB$, а $NB$ лежит на $NK$, то $AC \parallel NK$.
- Рассмотрим подобные треугольники $\triangle DAC$ и $\triangle DNK$ (они подобны, так как $AC \parallel NK$).
- Из подобия следует отношение сторон: $\frac{DA}{DN} = \frac{AC}{NK}$.
- Мы знаем: $DN = 12$, $NK = 16$.
- $DA = DN - NA = 12 - x$.
- $AC = x$ (сторона ромба).
- Подставим значения в пропорцию: $\frac{12 - x}{12} = \frac{x}{16}$.
- Решим уравнение:
$16(12 - x) = 12x$
$192 - 16x = 12x$
$192 = 28x$
$x = \frac{192}{28} = \frac{48}{7}$ см.

3. Найдем искомые отношения.
- Точка A на ND: $NA = x = \frac{48}{7}$. Отношение: $\frac{NA}{ND} = \frac{48/7}{12} = \frac{48}{7 \cdot 12} = \frac{4}{7}$.
- Точка B на NK: $NB = x = \frac{48}{7}$. Отношение: $\frac{NB}{NK} = \frac{48/7}{16} = \frac{48}{7 \cdot 16} = \frac{3}{7}$.
- Точка C на DK: Из подобия $\triangle DAC \sim \triangle DNK$ также следует $\frac{DC}{DK} = \frac{DA}{DN} = \frac{12-x}{12} = \frac{12 - 48/7}{12} = \frac{(84-48)/7}{12} = \frac{36/7}{12} = \frac{36}{7 \cdot 12} = \frac{3}{7}$.

4. Построение изображения ромба $N_1A_1C_1B_1$.
- На данном изображении $N_1D_1K_1$ (Рис. 35):
- Построение точки $A_1$: Точка $A_1$ делит отрезок $N_1D_1$ в отношении $\frac{N_1A_1}{N_1D_1} = \frac{4}{7}$. Разделим отрезок $N_1D_1$ на 7 равных частей и отложим от точки $N_1$ 4 такие части.
- Построение точки $B_1$: Точка $B_1$ делит отрезок $N_1K_1$ в отношении $\frac{N_1B_1}{N_1K_1} = \frac{3}{7}$. Разделим отрезок $N_1K_1$ на 7 равных частей и отложим от точки $N_1$ 3 такие части.
- Построение точки $C_1$: Точка $C_1$ делит отрезок $D_1K_1$ в отношении $\frac{D_1C_1}{D_1K_1} = \frac{3}{7}$. Разделим отрезок $D_1K_1$ на 7 равных частей и отложим от точки $D_1$ 3 такие части. (Альтернативно: так как $N_1A_1C_1B_1$ — изображение ромба, это параллелограмм. Можно провести через $A_1$ прямую, параллельную $N_1K_1$, а через $B_1$ — прямую, параллельную $N_1D_1$. Точка их пересечения будет $C_1$.)
- Соединим последовательно точки $N_1, A_1, C_1, B_1$.

Ответ: Изображение ромба $N_1A_1C_1B_1$ строится путем нахождения точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ на сторонах изображения треугольника $N_1D_1K_1$ в отношениях $\frac{N_1A_1}{N_1D_1} = \frac{4}{7}$, $\frac{N_1B_1}{N_1K_1} = \frac{3}{7}$ и $\frac{D_1C_1}{D_1K_1} = \frac{3}{7}$ соответственно, и их последующего соединения.