Номер 9, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

1. Отрезки $AE$ и $C_1P$ соответственно — высоты граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $AE$ и $C_1P$, если $\angle ABC = 80^{\circ}$.

2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BC = CD = 2\sqrt{2}$ см, $AA_1 = 1$ см. Найдите косинус угла между прямыми $BD$ и $AD_1$.

3. Рёбра $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ равны $2\sqrt{2}$ см и 4 см соответственно, а угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $45^{\circ}$. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $BD$.

1.

Угол между скрещивающимися прямыми $AE$ и $C_1P$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны.

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ — призма, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Выполним параллельный перенос прямой $C_1P$ на вектор $\vec{C_1C}$. Прямая $C_1P$ перейдет в прямую $CQ$, лежащую в плоскости основания $ABC$.

Так как $C_1P$ — высота грани $A_1B_1C_1$, то $C_1P \perp A_1B_1$. При параллельном переносе сохраняются углы и параллельность. Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$, то и $CQ \perp AB$. Таким образом, отрезок $CQ$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $C$.

Теперь задача сводится к нахождению угла между двумя высотами $AE$ и $CQ$ треугольника $ABC$. Из определения высот, $AE \perp BC$ и $CQ \perp AB$.

Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярными им прямыми. Прямая $AE$ перпендикулярна прямой $BC$, а прямая $CQ$ перпендикулярна прямой $AB$. Угол между прямыми $AB$ и $BC$ — это угол $\angle ABC$, который по условию равен $80^\circ$.

Следовательно, угол между высотами $AE$ и $CQ$ также равен $80^\circ$ (или $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$). По определению, угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении, поэтому он не превышает $90^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$

2.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

По условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, и $BC = CD = 2\sqrt{2}$ см. Так как основание $ABCD$ является прямоугольником, из равенства смежных сторон следует, что оно является квадратом. Значит, $DA = BC = 2\sqrt{2}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = 1$ см.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(2\sqrt{2}, 0, 0)$
• $B(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0)$
• $D_1(0, 0, 1)$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD$ и $AD_1$. В качестве них можно взять векторы $\vec{DB}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{DB} = \{2\sqrt{2}-0; 2\sqrt{2}-0; 0-0\} = \{2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0\}$

$\vec{AD_1} = \{0-2\sqrt{2}; 0-0; 1-0\} = \{-2\sqrt{2}, 0, 1\}$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми находится по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — направляющие векторы прямых.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{DB} \cdot \vec{AD_1} = (2\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})(0) + (0)(1) = -8$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{DB}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 8 + 0} = \sqrt{16} = 4$.

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 0 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь можем найти косинус угла между прямыми:

$\cos \alpha = \frac{|-8|}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

3.

Пусть $M$ — середина ребра $AC$, а $N$ — середина ребра $BD$. Для нахождения расстояния $MN$ воспользуемся векторным методом.

Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы ребер тетраэдра. Пусть $O$ — произвольная точка пространства (начало координат). Тогда радиус-векторы середин ребер:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Тогда вектор $\vec{MN}$ равен:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} - \vec{OC}) = \frac{1}{2}((\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OD} - \vec{OC})) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})$.

Найдем квадрат длины отрезка $MN$, который равен квадрату модуля вектора $\vec{MN}$:

$MN^2 = |\vec{MN}|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})\right|^2 = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{CD}) \cdot (\vec{AB} + \vec{CD})$

$MN^2 = \frac{1}{4}(|\vec{AB}|^2 + |\vec{CD}|^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{CD})$

По условию задачи, $|\vec{AB}| = 2\sqrt{2}$ и $|\vec{CD}| = 4$. Угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $45^\circ$.

Угол между прямыми — это острый угол между их направляющими векторами. Пусть $\alpha$ — угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Тогда угол между прямыми $45^\circ = \min(\alpha, 180^\circ - \alpha)$. Это означает, что $\alpha$ может быть равен $45^\circ$ или $135^\circ$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| |\vec{CD}| \cos \alpha = (2\sqrt{2})(4)\cos\alpha = 8\sqrt{2}\cos\alpha$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $\alpha = 45^\circ$:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8$.

$MN^2 = \frac{1}{4}((2\sqrt{2})^2 + 4^2 + 2 \cdot 8) = \frac{1}{4}(8 + 16 + 16) = \frac{40}{4} = 10$.

$MN = \sqrt{10}$ см.

2. Если угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $\alpha = 135^\circ$:

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 8\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -8$.

$MN^2 = \frac{1}{4}((2\sqrt{2})^2 + 4^2 + 2 \cdot (-8)) = \frac{1}{4}(8 + 16 - 16) = \frac{8}{4} = 2$.

$MN = \sqrt{2}$ см.

Условие задачи не позволяет однозначно определить взаимное расположение ребер, поэтому существуют два возможных ответа.

Ответ: $\sqrt{2}$ см или $\sqrt{10}$ см