Номер 19, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Призма

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 7 см и 17 см, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

2. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 4$ см. Боковое ребро призмы $CC_1$ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$, а проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1B_1B$.

3. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AC = BC = 5$ см, $AB = 6$ см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $CB_1$.

Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 17 \text{ см}$ и $BC = 7 \text{ см}$. Диагонали трапеции перпендикулярны.

1. Найдем высоту трапеции. Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота $h$ равна полусумме оснований:
$h = \frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$.

2. Найдем боковую сторону трапеции $c$. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AK$ равен полуразности оснований:
$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5 \text{ см}$.
Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора:
$c = AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

3. Найдем периметр основания призмы $P$:
$P = AD + BC + 2 \cdot AB = 17 + 7 + 2 \cdot 13 = 24 + 26 = 50 \text{ см}$.

4. Найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Это значит, что в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю призмы $D_{pr}$, ее проекцией на основание (диагональю трапеции $d$) и высотой призмы $H$, угол между $D_{pr}$ и $d$ равен $45^{\circ}$. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и $H = d$.
Найдем диагональ трапеции $d$. Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. $CK = h = 12 \text{ см}$. Отрезок $AK$ равен $AD - KD = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 7}{2} = 12 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$d = AC = \sqrt{AK^2 + CK^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2} \text{ см}$.
Таким образом, высота призмы $H = d = 12\sqrt{2} \text{ см}$.

5. Найдем площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$:
$S_{бок} = P \cdot H = 50 \cdot 12\sqrt{2} = 600\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $600\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Основанием наклонной призмы является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 4 \text{ см}$. Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$.

1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

2. Проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности (точка $O$) лежит на середине гипотенузы $AB$.

3. Боковое ребро $CC_1$ образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Этот угол — это $\angle C_1CO$, где $CO$ — проекция $CC_1$ на плоскость основания. Треугольник $C_1OC$ — прямоугольный ($\angle C_1OC=90^{\circ}$).
$CO$ — медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ABC$, и она равна половине гипотенузы:
$CO = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$.
Найдем длину бокового ребра $CC_1$ из треугольника $C_1OC$:
$CC_1 = \frac{CO}{\cos(60^{\circ})} = \frac{2\sqrt{2}}{1/2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

4. Грань $AA_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $AB$ и $AA_1$. Так как все боковые ребра призмы равны, $AA_1 = CC_1 = 4\sqrt{2} \text{ см}$. Поскольку $AB = 4\sqrt{2} \text{ см}$, грань $AA_1B_1B$ является ромбом.

5. Определим угол между сторонами $AB$ и $AA_1$. Проекцией бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания является вектор, равный вектору $\vec{OC}$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $CO$ является также и высотой, следовательно $CO \perp AB$.
Поскольку прямая $AB$ в плоскости основания перпендикулярна проекции наклонной $AA_1$, то по теореме о трех перпендикулярах, она перпендикулярна и самой наклонной $AA_1$. Таким образом, $\angle A_1AB = 90^{\circ}$.

6. Грань $AA_1B_1B$ — это прямоугольник, а так как его смежные стороны равны ($AB = AA_1 = 4\sqrt{2} \text{ см}$), то это квадрат. Найдем его площадь $S$:
$S = AB \cdot AA_1 = (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2$.

Ответ: $32 \text{ см}^2$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $CB_1$ воспользуемся координатно-векторным методом.

1. Введем систему координат. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с $AC = BC = 5 \text{ см}$ и $AB = 6 \text{ см}$. Проведем высоту $CD$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный, $CD$ является и медианой, $AD = DB = 3 \text{ см}$.
Найдем высоту $CD$ из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора:
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

2. Расположим основание призмы в плоскости $Oxy$. Пусть точка $D$ (середина $AB$) совпадает с началом координат $D(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль прямой $AB$, а ось $Oy$ — вдоль прямой $DC$. Ось $Oz$ будет направлена вдоль бокового ребра призмы. Координаты вершин основания:
$A(-3, 0, 0)$, $B(3, 0, 0)$, $C(0, 4, 0)$.
Призма прямая, боковое ребро (высота) равно $12$ см. Координаты вершин верхнего основания:
$A_1(-3, 0, 12)$, $B_1(3, 0, 12)$, $C_1(0, 4, 12)$.

3. Найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AC_1$ и $CB_1$:
$\vec{u} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (0 - (-3), 4 - 0, 12 - 0) = (3, 4, 12)$.
$\vec{v} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (3 - 0, 0 - 4, 12 - 0) = (3, -4, 12)$.

4. Угол $\phi$ между прямыми найдем через косинус угла между их направляющими векторами по формуле:
$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot (-4) + 12 \cdot 12 = 9 - 16 + 144 = 137$.
Найдем длины (модули) векторов:
$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Подставим значения в формулу:
$\cos \phi = \frac{137}{13 \cdot 13} = \frac{137}{169}$.

Угол между прямыми равен $\arccos\left(\frac{137}{169}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{137}{169}\right)$.