Номер 5, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Параллельность прямой и плоскости

1. Трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$) лежит в плоскости $\alpha$, $AD = 12$ см, $BC = 6$ см. Отрезок $MN$ — средняя линия трапеции. Вне плоскости $\alpha$ выбрали точку $E$ и на отрезке $EN$ отметили такую точку $P$, что $EP : PN = 1 : 2$ (рис. 41). Постройте точку $K$ пересечения плоскости $BPC$ с прямой $ME$ и найдите длину отрезка $KP$.

Рис. 41

2. На ребре $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $F$ так, что $CF : FC_1 = 3 : 1$. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане $AE$ треугольника $ABC$ и проходящей через точки $B$ и $F$. В каком отношении эта плоскость делит ребро $AA_1$?

3. Трапеция $ABCD$ является основанием пирамиды $SABCD$ ($AD \parallel BC$). Известно, что $BC : AD = 1 : 5$. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $SD$ и $SC$ соответственно. В каком отношении плоскость $AKM$ делит ребро $SB$?

1.

Построение точки K:
Точка K является точкой пересечения прямой ME и плоскости BPC. Для её нахождения воспользуемся вспомогательной плоскостью. Прямая ME лежит в плоскости (MEN). Найдём линию пересечения плоскости (MEN) и плоскости (BPC).

1. MN — средняя линия трапеции ABCD, следовательно, $MN \parallel BC$.
2. Так как $MN \parallel BC$ и $BC \subset (BPC)$, а $MN \not\subset (BPC)$, то прямая MN параллельна плоскости (BPC).
3. Плоскость (MEN) проходит через прямую MN, параллельную плоскости (BPC). По свойству, линия пересечения этих плоскостей будет параллельна прямой MN (и BC).
4. Найдём общую точку плоскостей (MEN) и (BPC). Точка P лежит на отрезке EN, а EN является частью плоскости (MEN). Таким образом, P принадлежит обеим плоскостям: $P \in (MEN)$ и $P \in (BPC)$ (по определению плоскости BPC в задаче). Следовательно, P лежит на линии их пересечения.
5. Таким образом, линия пересечения плоскостей (MEN) и (BPC) — это прямая, проходящая через точку P параллельно MN. Обозначим эту прямую $l$.
6. Точка K, как точка пересечения прямой ME и плоскости (BPC), должна лежать на линии пересечения плоскости (MEN) (содержащей ME) и плоскости (BPC). То есть, K лежит на прямой $l$.
7. Искомая точка K — это точка пересечения прямых ME и $l$ в плоскости (MEN).
Итак, для построения точки K в плоскости (EMN) через точку P проводим прямую $l \parallel MN$. Точка пересечения прямой $l$ с прямой ME и будет точкой K.

Нахождение длины отрезка KP:
Рассмотрим треугольник EMN. В нём проведена прямая KP, где K лежит на EM и P лежит на EN. По построению, $KP \parallel MN$. Следовательно, треугольник EKP подобен треугольнику EMN ($\triangle EKP \sim \triangle EMN$) по двум углам (угол при вершине E общий, $\angle EKP = \angle EMN$ как соответственные при $KP \parallel MN$ и секущей EM).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:
$\frac{KP}{MN} = \frac{EP}{EN}$

По условию, $EP : PN = 1 : 2$. Это означает, что отрезок EN можно представить как $EN = EP + PN = EP + 2EP = 3EP$. Тогда отношение $\frac{EP}{EN} = \frac{EP}{3EP} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, $KP = \frac{1}{3} MN$.

MN — средняя линия трапеции ABCD с основаниями AD=12 см и BC=6 см. Длина средней линии равна полусумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь найдём длину KP: $KP = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Ответ: KP = 3 см.

2.

Построение сечения:
Пусть секущая плоскость называется $\beta$. По условию, $\beta$ проходит через точки B и F, и $\beta \parallel AE$, где AE — медиана $\triangle ABC$.

1. Так как плоскость $\beta$ параллельна прямой AE, а прямая AE лежит в плоскости основания (ABC), то линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью (ABC) должна быть параллельна AE. Эта линия пересечения проходит через точку B (так как $B \in \beta$ и $B \in (ABC)$). Проведём в плоскости (ABC) прямую через точку B параллельно AE. Эта прямая пересечёт ребро AC (или его продолжение) в точке G. Отрезок BG — след сечения на основании призмы.
2. Точки F и G лежат в плоскости боковой грани (ACC₁A₁). Соединим их. Прямая FG является следом секущей плоскости на этой грани. Прямая FG пересекает ребро AA₁ в некоторой точке H. Отрезок GH — след сечения на грани (ACC₁A₁).
3. Точки B и H лежат в плоскости боковой грани (ABB₁A₁). Соединим их. Отрезок BH — след сечения на этой грани.
4. Точки B и F лежат в плоскости боковой грани (BCC₁B₁). Соединим их. Отрезок BF — след сечения на этой грани.
В результате получаем сечение — четырёхугольник BGFH. (Примечание: в зависимости от формы призмы точка G может оказаться вне отрезка AC, и тогда сечение будет иметь более сложную форму, но для нахождения отношения, в котором делится ребро AA₁, данный метод построения точки H является достаточным).

Нахождение отношения:
Для нахождения отношения, в котором плоскость $\beta$ делит ребро AA₁, воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в точке A. Введём базисные векторы: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AA_1} = \vec{a_1}$. В этом базисе координаты вершин и точек: $A(0)$, $B(\vec{b})$, $C(\vec{c})$, $A_1(\vec{a_1})$. E — середина BC, значит $\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$. Точка F лежит на ребре CC₁ с отношением $CF : FC_1 = 3:1$. Вектор $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Тогда $\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF} = \vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{CC_1} = \vec{c} + \frac{3}{4}\vec{a_1}$.

Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку B и параллельна вектору $\vec{AE}$. Также в плоскости лежит вектор $\vec{BF}$. $\vec{BF} = \vec{AF} - \vec{AB} = (\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{a_1}) - \vec{b} = \vec{c} - \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a_1}$. Уравнение плоскости $\beta$ можно записать в параметрическом виде: $\vec{r} = \vec{AB} + u\vec{BF} + v\vec{AE}$. $\vec{r} = \vec{b} + u(\vec{c} - \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a_1}) + v(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}))$.

Искомая точка H лежит на ребре AA₁. Её радиус-вектор $\vec{AH}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$, т.е. $\vec{AH} = p \cdot \vec{a_1}$ для некоторого $p \in [0, 1]$. Приравниваем общее уравнение плоскости и уравнение точки H: $p \vec{a_1} = \vec{b} + u(\vec{c} - \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a_1}) + \frac{v}{2}(\vec{b} + \vec{c})$. Сгруппируем слагаемые по базисным векторам: $p \vec{a_1} = (1 - u + \frac{v}{2})\vec{b} + (u + \frac{v}{2})\vec{c} + (\frac{3u}{4})\vec{a_1}$.

Так как векторы $\vec{b}, \vec{c}, \vec{a_1}$ некомпланарны (линейно независимы), то коэффициенты при них в левой и правой частях уравнения должны быть равны: $\begin{cases} 1 - u + v/2 = 0 \\ u + v/2 = 0 \\ p = 3u/4 \end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $v/2 = -u$. Подставляем в первое уравнение: $1 - u + (-u) = 0 \Rightarrow 1 - 2u = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$. Теперь находим $p$ из третьего уравнения: $p = \frac{3}{4} u = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

Таким образом, $\vec{AH} = \frac{3}{8}\vec{AA_1}$, что означает, что точка H делит ребро AA₁ в отношении $AH : HA_1 = \frac{3}{8} : (1 - \frac{3}{8}) = \frac{3}{8} : \frac{5}{8} = 3:5$.

Ответ: Плоскость делит ребро AA₁ в отношении 3:5, считая от вершины A.

3.

Пусть P — точка пересечения плоскости (AKM) с ребром SB. Нам нужно найти отношение $SP:PB$. Воспользуемся методом следов.

1. В плоскости грани (SDC) точки K и M являются серединами сторон SD и SC соответственно. Следовательно, отрезок KM — средняя линия треугольника SDC. Из этого следует, что $KM \parallel DC$.
2. Так как $KM \parallel DC$ и $DC \parallel AD$ (основания трапеции), то $KM \parallel AD$.
3. Найдём линию пересечения секущей плоскости (AKM) с плоскостью основания (ABCD). Секущая плоскость проходит через точку A и содержит прямую KM, параллельную плоскости основания. Следовательно, линия пересечения плоскости (AKM) с плоскостью (ABCD) — это прямая, проходящая через точку A параллельно KM (и DC, и AD). Обозначим эту прямую $l$.
4. Рассмотрим боковые рёбра AB и DC. Так как ABCD — трапеция, а не параллелограмм, прямые AB и DC не параллельны и пересекаются в некоторой точке Y. Эта точка лежит в плоскости основания. $\triangle YBC \sim \triangle YAD$ (поскольку $BC \parallel AD$). Из подобия следует: $\frac{YB}{YA} = \frac{YC}{YD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{5}$. Из $\frac{YB}{YA} = \frac{1}{5}$ получаем $YA = 5 YB$. Так как $YA = YB + AB$, то $5 YB = YB + AB$, откуда $4 YB = AB$, или $YB = \frac{1}{4}AB$. Точка B лежит между Y и A.
5. Найдём линию пересечения секущей плоскости (AKM) с плоскостью грани (SAB). Эта линия пройдёт через точку A. Найдём вторую точку. Для этого найдём точку пересечения прямой KM с плоскостью (SAB). Прямые KM и SY лежат в одной плоскости (SDC), так как Y лежит на прямой DC. Точка их пересечения X будет общей точкой для плоскостей (AKM) и (SAB). В $\triangle SYD$ отрезок KX параллелен основанию YD (так как $KM \parallel DC$). K — середина SD. По теореме Фалеса, X является серединой SY ($SX = XY$).
6. Теперь у нас есть линия пересечения плоскости (AKM) и плоскости (SAB) — это прямая AX. Искомая точка P является точкой пересечения этой прямой с ребром SB ($P = AX \cap SB$).
7. Рассмотрим $\triangle SAY$ и секущую XP (точки A, P, X лежат на одной прямой). По теореме Менелая для $\triangle SAY$ и секущей XP: $\frac{SP}{PB} \cdot \frac{BA}{AY} \cdot \frac{YX}{XS} = 1$.

Найдём значения отношений:

- X — середина SY, поэтому $\frac{YX}{XS} = 1$.
- Мы нашли, что $YB = \frac{1}{4}AB$. Тогда $AY = AB + YB = AB + \frac{1}{4}AB = \frac{5}{4}AB$. Следовательно, $\frac{BA}{AY} = \frac{AB}{\frac{5}{4}AB} = \frac{4}{5}$.

Подставляем эти значения в формулу Менелая: $\frac{SP}{PB} \cdot \frac{4}{5} \cdot 1 = 1$. $\frac{SP}{PB} = \frac{5}{4}$.

Таким образом, искомое отношение $SP:PB = 5:4$.

Ответ: Плоскость AKM делит ребро SB в отношении 5:4, считая от вершины S.