Номер 10, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Точка N лежит вне плоскости ромба ABCD и равноудалена от точек A и C. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости BND.

2. Прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что $AB = 9$ см, $AP = 17$ см, $PC = 12$ см. Найдите отрезок BC.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ известно, что $AD = AA_1$. На рёбрах $AD$ и $A_1 D_1$ отметили точки N и F соответственно так, что $AN : ND = 1 : 2$, $A_1 F : FD_1 = 4 : 3$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной прямой $A_1 N$. В каком отношении секущая плоскость делит ребро $BB_1$?

1. Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Поскольку ABCD - ромб, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Рассмотрим треугольник ANC. По условию, точка N равноудалена от точек A и C, следовательно, $NA = NC$. Это означает, что треугольник ANC является равнобедренным с основанием AC.
Отрезок NO соединяет вершину N с серединой основания O (так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $NO \perp AC$.
Таким образом, прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и NO, лежащим в плоскости BND (прямые BD и NO пересекаются в точке O).
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BND, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2. Поскольку прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $PC \perp AC$.
Следовательно, треугольник PAC является прямоугольным с гипотенузой AP.
По теореме Пифагора для треугольника PAC: $AP^2 = AC^2 + PC^2$.
Подставим известные значения: $17^2 = AC^2 + 12^2$.
$289 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 289 - 144 = 145$.
Теперь рассмотрим прямоугольник ABCD. Треугольник ABC является прямоугольным, так как угол B прямой ($\angle B = 90^\circ$).
По теореме Пифагора для треугольника ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Подставим известные значения: $145 = 9^2 + BC^2$.
$145 = 81 + BC^2$.
$BC^2 = 145 - 81 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AD, ось Oy вдоль ребра AB и ось Oz вдоль ребра AA₁.
Пусть $AD = AA_1 = a$ и $AB = b$. Тогда грань $ADD_1A_1$ является квадратом.
Координаты вершин: $A(0, 0, 0)$, $D(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $D_1(a, 0, a)$.
Найдем координаты точек N и F.
Точка N лежит на ребре AD так, что $AN : ND = 1:2$, следовательно, $AN = \frac{1}{3}AD$. Координаты точки N: $N(\frac{a}{3}, 0, 0)$.
Точка F лежит на ребре $A_1D_1$ так, что $A_1F : FD_1 = 4:3$, следовательно, $A_1F = \frac{4}{7}A_1D_1$. Координаты точки F: $F(\frac{4a}{7}, 0, a)$.
Искомая плоскость сечения перпендикулярна прямой $A_1N$. Значит, вектор $\vec{A_1N}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.
$\vec{n} = \vec{A_1N} = (\frac{a}{3} - 0; 0 - 0; 0 - a) = (\frac{a}{3}, 0, -a)$.
Для удобства можно взять коллинеарный вектор, умножив координаты на $\frac{3}{a}$: $\vec{n'} = (1, 0, -3)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n'}(A, B, C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Плоскость проходит через точку $F(\frac{4a}{7}, 0, a)$, поэтому ее уравнение:
$1 \cdot (x - \frac{4a}{7}) + 0 \cdot (y - 0) - 3 \cdot (z - a) = 0$.
$x - \frac{4a}{7} - 3z + 3a = 0$
$x - 3z + \frac{17a}{7} = 0$.
Чтобы найти, в каком отношении секущая плоскость делит ребро $BB_1$, найдем точку K — точку пересечения плоскости с прямой $BB_1$.
Прямая $BB_1$ задается уравнениями $x=0, y=b$. Координаты точки K будут $(0, b, z_K)$.
Подставим эти координаты в уравнение плоскости:
$0 - 3z_K + \frac{17a}{7} = 0$, откуда $3z_K = \frac{17a}{7}$, и $z_K = \frac{17a}{21}$.
Итак, точка пересечения $K$ имеет координаты $(0, b, \frac{17a}{21})$.
Найдем отношение, в котором точка K делит ребро $BB_1$. Длина $BB_1$ равна $a$. Координаты точек $B(0, b, 0)$ и $B_1(0, b, a)$.
$BK = z_K - z_B = \frac{17a}{21} - 0 = \frac{17a}{21}$.
$KB_1 = z_{B_1} - z_K = a - \frac{17a}{21} = \frac{4a}{21}$.
Следовательно, искомое отношение $BK : KB_1 = \frac{17a}{21} : \frac{4a}{21} = 17:4$.
Ответ: 17:4.