Номер 15, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 15

Перпендикулярные плоскости

1. Точка $P$ не принадлежит плоскости ромба $ABCD$ и равноудалена от вершин $B$ и $D$. Докажите, что плоскости $APC$ и $ABC$ перпендикулярны.

2. Плоскости $\beta$ и $\gamma$ перпендикулярны. Точки $E$ и $F$ принадлежат плоскости $\gamma$. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\beta$ и параллельна плоскости $\gamma$. Из точек $E$ и $F$ к прямой $l$ проведены перпендикуляры $EK$ и $FM$. Известно, что $EK = 17$ см, $FM = 25$ см, а расстояние от точки $F$ до линии пересечения плоскостей равно $20$ см. Найдите расстояние от точки $E$ до линии пересечения плоскостей.

Рис. 48

3. Плоскости квадрата $ABCD$ и прямоугольника $ABC_1D_1$ перпендикулярны (рис. 48). Найдите расстояние между прямыми $DC_1$ и $AB$, если $AB = 5$ см, $AD_1 = 12$ см.

1.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$.

1. По свойству диагоналей ромба, они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC \perp BD$ и $BO = OD$.

2. Рассмотрим треугольник $PBD$. По условию, точка $P$ равноудалена от вершин $B$ и $D$, то есть $PB = PD$. Это означает, что треугольник $PBD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

3. Отрезок $PO$ в треугольнике $PBD$ является медианой, так как $O$ — середина основания $BD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $PO \perp BD$.

4. Мы имеем, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $PO$ в плоскости $APC$ (прямые $AC$ и $PO$ пересекаются в точке $O$ и лежат в плоскости $APC$, так как точки $A, P, C, O$ лежат в этой плоскости).

5. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, $BD \perp (APC)$.

6. Плоскость $ABC$ (или $ABCD$) проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $APC$.

7. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $APC$ перпендикулярна плоскости $ABC$, что и требовалось доказать.

2.

Пусть $a$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\beta$ и $\gamma$.Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\beta$ и параллельна плоскости $\gamma$, то она параллельна линии их пересечения $a$, то есть $l \parallel a$. Расстояние между параллельными прямыми $l$ и $a$ постоянно. Обозначим это расстояние $h$.

Рассмотрим точку $F \in \gamma$. Пусть $FP$ — перпендикуляр, опущенный из точки $F$ на линию пересечения $a$ (где $P \in a$). Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки $F$ до линии пересечения, то есть $FP = 20$ см.

По условию $FM$ — перпендикуляр из точки $F$ к прямой $l$ ($M \in l$), значит $FM$ — это расстояние от точки $F$ до прямой $l$, $FM = 25$ см.

Поскольку плоскости $\beta$ и $\gamma$ перпендикулярны, то перпендикуляр $FP$ из точки $F$ к линии пересечения $a$ является также перпендикуляром к плоскости $\beta$. Отрезок $PM$ является проекцией наклонной $FM$ на плоскость $\beta$. Так как наклонная $FM$ перпендикулярна прямой $l$, лежащей в плоскости $\beta$, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $PM$ также перпендикулярна прямой $l$. А так как $l \parallel a$, то $PM \perp a$. Следовательно, длина $PM$ равна расстоянию $h$ между прямыми $a$ и $l$.

Рассмотрим треугольник $FPM$. Он является прямоугольным, так как $FP \perp \beta$, а значит $FP \perp PM$. По теореме Пифагора:$FM^2 = FP^2 + PM^2$$25^2 = 20^2 + h^2$$625 = 400 + h^2$$h^2 = 225$, откуда $h = 15$ см.

Теперь рассмотрим точку $E \in \gamma$. Пусть $EQ$ — искомое расстояние от точки $E$ до линии пересечения $a$ ($Q \in a$). По условию, расстояние от $E$ до прямой $l$ равно $EK = 17$ см. Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрим прямоугольный треугольник $EQK$, в котором:

• $EK = 17$ см — гипотенуза (расстояние от $E$ до $l$).
• $EQ$ — катет (искомое расстояние от $E$ до $a$).
• $QK = h = 15$ см — катет (расстояние между $a$ и $l$).

По теореме Пифагора:$EK^2 = EQ^2 + QK^2$$17^2 = EQ^2 + 15^2$$289 = EQ^2 + 225$$EQ^2 = 289 - 225 = 64$$EQ = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3.

1. Пусть плоскость квадрата $ABCD$ — это $\alpha$, а плоскость прямоугольника $ABC_1D_1$ — это $\beta$. По условию $\alpha \perp \beta$, и их общая линия пересечения — $AB$.

2. Из свойств квадрата $ABCD$ следует, что $AD \perp AB$ и $AD = AB = 5$ см.

3. Из свойств прямоугольника $ABC_1D_1$ следует, что $AD_1 \perp AB$ и $AD_1 = 12$ см.

4. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ определяется углом между перпендикулярами $AD$ и $AD_1$, проведенными к линии пересечения $AB$ в точке $A$. Так как $\alpha \perp \beta$, то $\angle DAD_1 = 90^\circ$.

5. Мы ищем расстояние между скрещивающимися прямыми $DC_1$ и $AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AD_1$, она перпендикулярна плоскости $(ADD_1)$, в которой они лежат.

6. Спроектируем обе прямые на плоскость $(ADD_1)$, которой прямая $AB$ перпендикулярна.

- Прямая $AB$ проектируется в точку $A$.

- Для проекции прямой $DC_1$ найдем проекции точек $D$ и $C_1$. Точка $D$ уже лежит в плоскости $(ADD_1)$, поэтому она проектируется сама в себя. Так как $ABCD$ — квадрат, то $CD \parallel AB$. Следовательно, при проекции на плоскость, перпендикулярную $AB$, все точки прямой $CD$ проектируются в точку $D$. Аналогично, так как $ABC_1D_1$ — прямоугольник, $C_1D_1 \parallel AB$, и все точки прямой $C_1D_1$ проектируются в точку $D_1$. Значит, прямая $DC_1$ проектируется в прямую $DD_1$.

7. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DD_1$ в плоскости $(ADD_1)$.

8. В плоскости $(ADD_1)$ мы имеем прямоугольный треугольник $DAD_1$ с катетами $AD = 5$ см и $AD_1 = 12$ см. Искомое расстояние — это длина высоты $h_A$, проведенной из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $DD_1$.

9. Найдем длину гипотенузы $DD_1$ по теореме Пифагора:$DD_1 = \sqrt{AD^2 + AD_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

10. Площадь треугольника $DAD_1$ равна $S = \frac{1}{2} AD \cdot AD_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} DD_1 \cdot h_A$.

11. Приравняем выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_A = 30$$13 \cdot h_A = 60$$h_A = \frac{60}{13}$ см.

Ответ: $\frac{60}{13}$ см.