Номер 13, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 13

Угол между прямой и плоскостью

1. Из точки $K$ к плоскости $\alpha$ провели наклонные $KA$ и $KB$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите наклонную $KA$, если $KB = 6\sqrt{3}$ см.

2. На ребре $CD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $F$ так, что $CF : FD = 1 : 3$. Найдите угол между прямой $B_1F$ и плоскостью $BCC_1$, если $AB = 12$ см, $AD = 3\sqrt{2}$ см, $CC_1 = 3$ см.

3. Основанием пирамиды $NABCD$ является равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$). Ребро $ND$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что $\angle NCD = 60^\circ$, $\angle BAD = 75^\circ$. Найдите косинус угла между прямыми $NC$ и $AB$.

1.

Пусть $KH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $KA$ и $KB$ на эту плоскость. По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. Следовательно, $\angle KAH = 30^\circ$ и $\angle KBH = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KHB$ (угол $\angle KHB = 90^\circ$). Катет $KH$ связан с гипотенузой $KB$ соотношением:$KH = KB \cdot \sin(\angle KBH)$.

Подставим известные значения: $KB = 6\sqrt{3}$ см и $\angle KBH = 60^\circ$.$KH = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KHA$ (угол $\angle KHA = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $KH$ и гипотенуза $KA$ связаны соотношением:$KH = KA \cdot \sin(\angle KAH)$.

Отсюда можем выразить и найти $KA$:$KA = \frac{KH}{\sin(\angle KAH)}$.

Подставим известные значения: $KH = 9$ см и $\angle KAH = 30^\circ$.$KA = \frac{9}{\sin(30^\circ)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

2.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Найдём проекцию прямой $B_1F$ на плоскость $BCC_1$.

Точка $B_1$ принадлежит плоскости $BCC_1$, следовательно, её проекцией является она сама.

Для нахождения проекции точки $F$ опустим перпендикуляр из $F$ на плоскость $BCC_1$. В прямоугольном параллелепипеде ребро $CD$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, так как $CD \perp BC$ (основание — прямоугольник) и $CD \perp CC_1$ (боковые грани перпендикулярны основанию). Поскольку точка $F$ лежит на ребре $CD$, то отрезок $FC$ является перпендикуляром к плоскости $BCC_1$. Следовательно, точка $C$ является проекцией точки $F$ на плоскость $BCC_1$.

Таким образом, прямая $B_1C$ является проекцией прямой $B_1F$ на плоскость $BCC_1$. Искомый угол — это угол $\angle FB_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FB_1C$. Так как $FC$ — перпендикуляр к плоскости $BCC_1$, то $FC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$, в том числе и прямой $B_1C$. Значит, $\triangle FB_1C$ — прямоугольный с прямым углом $\angle FCB_1$.

Найдём длины катетов этого треугольника.Длина ребра $CD$ равна длине ребра $AB$, то есть $CD = 12$ см. Точка $F$ делит ребро $CD$ в отношении $CF : FD = 1 : 3$.$CF = \frac{1}{1+3} \cdot CD = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см.

Катет $B_1C$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1C_1C$ (грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник). По теореме Пифагора:$B_1C^2 = B_1C_1^2 + CC_1^2$.Известно, что $B_1C_1 = AD = 3\sqrt{2}$ см и $CC_1 = 3$ см.$B_1C^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 = 18 + 9 = 27$.$B_1C = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle FB_1C$ найдём тангенс искомого угла $\alpha = \angle FB_1C$:$\text{tg}(\alpha) = \frac{FC}{B_1C} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

3.

Угол между скрещивающимися прямыми $NC$ и $AB$ равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным. Проведём через точку $D$ прямую $DE$, параллельную $AB$, так, чтобы точка $E$ лежала в плоскости основания. Тогда искомый угол будет равен углу между прямыми $NC$ и $DE$. Этот угол является углом $\angle CNE$ в треугольнике $\triangle NCE$. Найдём стороны этого треугольника, чтобы затем по теореме косинусов найти косинус угла $\angle CNE$.

Пусть длина боковой стороны трапеции $CD = l$. Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = l$. Тогда $DE = l$.

1. Найдём сторону $NC$. Ребро $ND$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит $ND \perp CD$. Треугольник $\triangle NDC$ — прямоугольный ($\angle NDC = 90^\circ$). Из условия $\angle NCD = 60^\circ$.$NC = \frac{CD}{\cos(\angle NCD)} = \frac{l}{\cos(60^\circ)} = \frac{l}{1/2} = 2l$.Также найдём длину $ND$: $ND = CD \cdot \text{tg}(60^\circ) = l\sqrt{3}$.

2. Найдём сторону $NE$. Так как $ND \perp (ABCD)$, то $ND \perp DE$. Треугольник $\triangle NDE$ — прямоугольный ($\angle NDE = 90^\circ$).$DE = AB = l$. По теореме Пифагора:$NE^2 = ND^2 + DE^2 = (l\sqrt{3})^2 + l^2 = 3l^2 + l^2 = 4l^2$.$NE = \sqrt{4l^2} = 2l$.

3. Найдём сторону $CE$. Точки $C, D, E$ лежат в плоскости основания. $CE$ — сторона треугольника $\triangle CDE$. В равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ углы при каждом основании равны. Так как $\angle BAD = 75^\circ$, то и $\angle CDA = 75^\circ$. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$. В треугольнике $\triangle APD$ углы при основании $AD$ равны $75^\circ$, значит $\angle APD = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$. Угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $30^\circ$.Так как $DE || AB$, то угол между $CD$ и $DE$ также равен $30^\circ$, то есть $\angle CDE = 30^\circ$.По теореме косинусов для треугольника $\triangle CDE$:$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(\angle CDE)$$CE^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(30^\circ) = 2l^2 - 2l^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2l^2 - l^2\sqrt{3} = l^2(2-\sqrt{3})$.

4. Теперь у нас есть все стороны треугольника $\triangle NCE$: $NC = 2l$, $NE = 2l$, $CE^2 = l^2(2-\sqrt{3})$. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle CNE)$:$CE^2 = NC^2 + NE^2 - 2 \cdot NC \cdot NE \cdot \cos(\angle CNE)$$l^2(2-\sqrt{3}) = (2l)^2 + (2l)^2 - 2 \cdot (2l) \cdot (2l) \cdot \cos(\angle CNE)$$l^2(2-\sqrt{3}) = 4l^2 + 4l^2 - 8l^2 \cos(\angle CNE)$$l^2(2-\sqrt{3}) = 8l^2 - 8l^2 \cos(\angle CNE)$.Сократим на $l^2$ (так как $l \ne 0$):$2-\sqrt{3} = 8 - 8\cos(\angle CNE)$$8\cos(\angle CNE) = 8 - (2-\sqrt{3}) = 6+\sqrt{3}$$\cos(\angle CNE) = \frac{6+\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{6+\sqrt{3}}{8}$.