Номер 18, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Геометрическое место точек пространства

1. Длина отрезка $NP$ равна 24 см. Найдите геометрическое место точек $X$, равноудаленных от точек $N$ и $P$ и таких, что $PX = 20$ см.

2. Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 20 см, 13 см и 11 см. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что каждая из прямых $XA$, $XB$ и $XC$ образует с плоскостью $ABC$ угол, равный $60^{\circ}$.

3. Найдите ГМТ, равноудаленных от пересекающихся плоскостей $\beta$ и $\gamma$ и удаленных от их линии пересечения на 3 см.

1. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух точек $N$ и $P$, представляет собой плоскость $\alpha$, которая перпендикулярна отрезку $NP$ и проходит через его середину. Пусть $M$ — середина отрезка $NP$. Тогда $M \in \alpha$ и $\alpha \perp NP$. Длина отрезка $NP$ равна 24 см, следовательно, расстояние от точки $M$ до точек $N$ и $P$ равно $PM = MN = 24 / 2 = 12$ см.

Геометрическое место точек $X$, для которых расстояние до точки $P$ равно 20 см ($PX = 20$ см), представляет собой сферу с центром в точке $P$ и радиусом $R = 20$ см.

Искомое ГМТ является пересечением этих двух множеств: плоскости $\alpha$ и сферы с центром $P$ и радиусом $R=20$ см. Поскольку расстояние от центра сферы (точки $P$) до плоскости $\alpha$ равно $d = PM = 12$ см, и это расстояние меньше радиуса сферы ($d < R$, так как $12 < 20$), то их пересечением будет окружность.

Центром этой окружности является точка $M$ — середина отрезка $NP$. Радиус $r$ этой окружности можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle PMX$, где $X$ — любая точка на окружности. В этом треугольнике гипотенуза $PX$ равна радиусу сферы $R$, один катет $PM$ равен расстоянию от центра сферы до плоскости, а второй катет $MX$ — это и есть искомый радиус $r$ окружности.

По теореме Пифагора: $r^2 = R^2 - d^2$.
$r^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$r = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с радиусом 16 см, центр которой находится в середине отрезка $NP$. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $NP$ и проходящей через его середину.

2. Пусть $X_0$ — проекция точки $X$ на плоскость $ABC$. Угол между наклонной (например, $XA$) и плоскостью ($ABC$) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость (отрезком $X_0A$). По условию, углы между прямыми $XA, XB, XC$ и плоскостью $ABC$ равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle XAX_0 = \angle XBX_0 = \angle XCX_0 = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle XAX_0, \triangle XBX_0, \triangle XCX_0$ (они прямоугольные, так как $XX_0 \perp ABC$). У них общий катет $XX_0$ (расстояние от точки $X$ до плоскости $ABC$) и равные острые углы по $60^\circ$. Из этого следует равенство этих треугольников по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство катетов: $AX_0 = BX_0 = CX_0$. Это означает, что точка $X_0$ в плоскости $ABC$ равноудалена от вершин треугольника $A, B, C$. Такая точка является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Таким образом, искомые точки $X$ лежат на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$ и проходящей через центр $O$ описанной около $\triangle ABC$ окружности.

Найдём радиус $R$ описанной окружности. Стороны треугольника: $a = BC = 13$ см, $b = AC = 11$ см, $c = AB = 20$ см.
Сначала вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона. Полупериметр $p = (13 + 11 + 20) / 2 = 44 / 2 = 22$ см.
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{22(22-13)(22-11)(22-20)} = \sqrt{22 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 2} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 121} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ см$^2$.
Радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 11 \cdot 20}{4 \cdot 66} = \frac{13 \cdot 11 \cdot 5}{66} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6}$ см.

Теперь найдём расстояние $h = XX_0$ от искомой точки $X$ до плоскости $ABC$. Из треугольника $\triangle XAX_0$:
$h = XX_0 = AX_0 \cdot \tan(60^\circ) = R \cdot \sqrt{3} = \frac{65}{6}\sqrt{3}$ см.
Таких точек две: одна над плоскостью $ABC$, другая — под ней, симметрично первой.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, расположенные на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника $ABC$ и проходящей через центр его описанной окружности. Эти точки находятся на расстоянии $\frac{65\sqrt{3}}{6}$ см от плоскости треугольника, по разные стороны от неё.

3. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей $\beta$ и $\gamma$, — это пара взаимно перпендикулярных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\beta$ и $\gamma$. Эти биссекторные плоскости проходят через линию пересечения $l$ плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Обозначим их $\delta_1$ и $\delta_2$.

Геометрическое место точек, удалённых от прямой $l$ (линии пересечения $\beta$ и $\gamma$) на расстояние 3 см, — это цилиндрическая поверхность (цилиндр) с осью $l$ и радиусом $r=3$ см.

Искомое ГМТ является пересечением этих двух множеств: пары биссекторных плоскостей $\delta_1, \delta_2$ и цилиндра с осью $l$ и радиусом 3 см.

Так как обе биссекторные плоскости $\delta_1$ и $\delta_2$ содержат ось цилиндра $l$, то пересечение каждой из этих плоскостей с цилиндром представляет собой пару прямых, параллельных оси $l$ и расположенных на расстоянии радиуса (3 см) от неё.

Таким образом, пересечение плоскости $\delta_1$ с цилиндром — это две параллельные прямые, лежащие в $\delta_1$ на расстоянии 3 см от $l$. Аналогично, пересечение плоскости $\delta_2$ с цилиндром — это ещё две параллельные прямые, лежащие в $\delta_2$ на расстоянии 3 см от $l$. Всего получается четыре прямые.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это четыре прямые, параллельные линии пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ и удалённые от неё на 3 см.