Номер 14, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Двугранный угол. Угол между плоскостями

1. В гранях двугранного угла проведены прямые $a$ и $c$, параллельные его ребру, на расстоянии 5 см и 8 см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $a$ и $c$ равно 7 см.

2. Из точек $D$ и $E$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $120^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $DD_1$ и $EE_1$ длиной 3 см и 5 см соответственно. Найдите отрезок $DE$, если $D_1E_1 = 4\sqrt{2}$ см.

3. Через гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$, а катет $BC$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^\circ$. Найдите угол, который образует катет $AC$ с плоскостью $\alpha$.

1. Пусть дан двугранный угол с ребром $m$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. В гранях проведены прямые $a \subset \alpha$ и $c \subset \beta$, причем $a \parallel m$ и $c \parallel m$. Расстояние от прямой $a$ до ребра $m$ равно 5 см, а от прямой $c$ до ребра $m$ — 8 см. Расстояние между прямыми $a$ и $c$ равно 7 см.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Чтобы построить линейный угол, выберем произвольную точку $O$ на ребре $m$ и проведем через нее плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $m$.

Эта плоскость пересечет грани $\alpha$ и $\beta$ по двум лучам $OA$ и $OC$ соответственно, исходящим из точки $O$ и перпендикулярным ребру $m$. Угол $\angle AOC$ и будет искомым линейным углом. Обозначим его $\phi$.

Плоскость $\gamma$ также пересечет прямые $a$ и $c$ в точках $A$ и $C$ соответственно. Так как $a \parallel m$ и $OA \perp m$, то $OA$ — это расстояние от точки $A$ на прямой $a$ до ребра $m$. По условию, это расстояние равно 5 см. Следовательно, $OA = 5$ см. Аналогично, $OC$ — это расстояние от точки $C$ на прямой $c$ до ребра $m$, и $OC = 8$ см.

Так как прямые $a$ и $c$ параллельны ребру $m$, то они параллельны между собой (в общем случае они скрещивающиеся). Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Отрезок $AC$ лежит в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым $a$ и $c$, и соединяет эти прямые. Следовательно, длина отрезка $AC$ и есть расстояние между прямыми $a$ и $c$, то есть $AC = 7$ см.

Мы получили треугольник $AOC$ со сторонами $OA=5$ см, $OC=8$ см и $AC=7$ см. Угол $\angle AOC = \phi$ является искомым углом. Найдем его, используя теорему косинусов для треугольника $AOC$:
$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\phi)$
$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\phi)$
$49 = 25 + 64 - 80 \cos(\phi)$
$49 = 89 - 80 \cos(\phi)$
$80 \cos(\phi) = 89 - 49$
$80 \cos(\phi) = 40$
$\cos(\phi) = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

Отсюда, $\phi = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

2. Пусть ребро двугранного угла лежит на прямой $m$. Точка $D$ лежит в одной грани, а точка $E$ — в другой. $DD_1 \perp m$ и $EE_1 \perp m$, где точки $D_1$ и $E_1$ лежат на ребре $m$. По условию, $DD_1 = 3$ см, $EE_1 = 5$ см, расстояние между основаниями перпендикуляров $D_1E_1 = 4\sqrt{2}$ см, а величина двугранного угла равна $120^\circ$.

Для нахождения длины отрезка $DE$ воспользуемся методом пространственной геометрии. Рассмотрим векторное равенство:
$\vec{DE} = \vec{DD_1} + \vec{D_1E_1} + \vec{E_1E}$

Найдем квадрат длины отрезка $DE$ как скалярный квадрат вектора $\vec{DE}$:
$DE^2 = |\vec{DE}|^2 = (\vec{DD_1} + \vec{D_1E_1} + \vec{E_1E})^2$
$DE^2 = |\vec{DD_1}|^2 + |\vec{D_1E_1}|^2 + |\vec{E_1E}|^2 + 2(\vec{DD_1} \cdot \vec{D_1E_1}) + 2(\vec{D_1E_1} \cdot \vec{E_1E}) + 2(\vec{DD_1} \cdot \vec{E_1E})$

Проанализируем каждый член этого выражения:

• $|\vec{DD_1}|^2 = DD_1^2 = 3^2 = 9$.
• $|\vec{D_1E_1}|^2 = D_1E_1^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$.
• $|\vec{E_1E}|^2 = EE_1^2 = 5^2 = 25$.
• $\vec{DD_1} \cdot \vec{D_1E_1}$: Вектор $\vec{DD_1}$ перпендикулярен ребру $m$, а вектор $\vec{D_1E_1}$ лежит на ребре $m$. Следовательно, эти векторы перпендикулярны, и их скалярное произведение равно 0.
• $\vec{D_1E_1} \cdot \vec{E_1E}$: Аналогично, вектор $\vec{E_1E}$ перпендикулярен ребру $m$, поэтому $\vec{D_1E_1} \perp \vec{E_1E}$, и их скалярное произведение равно 0.
• $\vec{DD_1} \cdot \vec{E_1E}$: Угол между векторами $\vec{D_1D}$ и $\vec{E_1E}$ (если их отложить от одной точки) равен величине двугранного угла, то есть $120^\circ$. Вектор $\vec{DD_1}$ противоположен вектору $\vec{D_1D}$. Таким образом, угол между векторами $\vec{DD_1}$ и $\vec{E_1E}$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
  $\vec{DD_1} \cdot \vec{E_1E} = |\vec{DD_1}| \cdot |\vec{E_1E}| \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7.5$.

Подставим все значения в формулу:
$DE^2 = 9 + 32 + 25 + 2(0) + 2(0) + 2(7.5)$
$DE^2 = 66 + 15 = 81$
$DE = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

3. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Плоскость $\alpha$ проходит через гипотенузу $AB$. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$. Угол между катетом $BC$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$.

Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CP$ на плоскость $\alpha$. Тогда $CP$ — это расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Угол между катетом $BC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle CBP$, и он равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $CPB$ (угол $\angle CPB = 90^\circ$):
$CP = BC \cdot \sin(\angle CBP) = BC \cdot \sin(45^\circ) = BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Линия пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$ — это гипотенуза $AB$. Проведем в плоскости $ABC$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Тогда $CH \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, проекция $PH$ высоты $CH$ на плоскость $\alpha$ также перпендикулярна $AB$.

Угол $\angle CHP$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, $\angle CHP = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $CPH$ (угол $\angle CPH = 90^\circ$):
$CP = CH \cdot \sin(\angle CHP) = CH \cdot \sin(60^\circ) = CH \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем два выражения для $CP$:
$BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = CH \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies BC\sqrt{2} = CH\sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведенная к гипотенузе, связана с катетом $BC$ и углом $B$ соотношением $CH = BC \cdot \sin(\angle B)$. Подставим это в предыдущее равенство:
$BC\sqrt{2} = (BC \cdot \sin(\angle B))\sqrt{3}$
$\sin(\angle B) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем искомый угол $\gamma$ между катетом $AC$ и плоскостью $\alpha$. Этот угол равен $\angle CAP$. В прямоугольном треугольнике $CPA$ (угол $\angle CPA = 90^\circ$):
$\sin(\gamma) = \frac{CP}{AC}$.

Мы знаем, что $CP = BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ связаны через угол $B$: $AC = BC \cdot \tan(\angle B)$.

Найдем $\tan(\angle B)$, зная $\sin(\angle B)$:
$\cos^2(\angle B) = 1 - \sin^2(\angle B) = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Так как угол $B$ острый, $\cos(\angle B) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan(\angle B) = \frac{\sin(\angle B)}{\cos(\angle B)} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $AC = BC \cdot \sqrt{2}$.

Подставим выражения для $CP$ и $AC$ в формулу для $\sin(\gamma)$:
$\sin(\gamma) = \frac{BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{BC \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $\gamma = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.