Номер 11, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

1. Из точки $K$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $KA$ и $KB$, длины которых равны 26 см и 30 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $KA$ и $KB$ относятся как $5 : 9$.

2. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $AC$. Расстояние между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$ равно 3 см, а проекции отрезков $AB$ и $BC$ на эту плоскость равны 4 см и $3\sqrt{3}$ см соответственно. Найдите диагональ $BD$ параллелограмма, если диагональ $AC$ равна 8 см.

3. На ребре $BC$ тетраэдра $PABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 7 : 1$. Известно, что $AP = PB$, $AC = CB = 20$ см, $AB = 24$ см. Найдите расстояние между прямыми $PF$ и $AB$.

1.

Пусть $KH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда $KH$ является искомым расстоянием. Отрезки $KA$ и $KB$ — наклонные, а $HA$ и $HB$ — их проекции на плоскость $\alpha$.

Образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle KHA$ и $\triangle KHB$, с общим катетом $KH$. Обозначим длину этого катета как $h$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$KA^2 = KH^2 + HA^2$

$KB^2 = KH^2 + HB^2$

Подставим известные значения длин наклонных:

$26^2 = h^2 + HA^2 \Rightarrow 676 = h^2 + HA^2$

$30^2 = h^2 + HB^2 \Rightarrow 900 = h^2 + HB^2$

По условию, проекции относятся как $5:9$, то есть $HA : HB = 5 : 9$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $HA = 5x$ и $HB = 9x$.

Подставим эти выражения в уравнения:

$676 = h^2 + (5x)^2 \Rightarrow 676 = h^2 + 25x^2$

$900 = h^2 + (9x)^2 \Rightarrow 900 = h^2 + 81x^2$

Получили систему двух уравнений с двумя переменными. Выразим $h^2$ из первого уравнения и подставим во второе:

$h^2 = 676 - 25x^2$

$900 = (676 - 25x^2) + 81x^2$

$900 = 676 + 56x^2$

$56x^2 = 900 - 676$

$56x^2 = 224$

$x^2 = \frac{224}{56} = 4$

$x = 2$ (так как длина должна быть положительной)

Теперь найдем $h^2$, используя выражение для $h^2$:

$h^2 = 676 - 25x^2 = 676 - 25 \cdot 4 = 676 - 100 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

2.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна диагонали $AC$, расстояние от любой точки прямой $AC$ до плоскости $\alpha$ одинаково и равно 3 см. Пусть $A'$ и $C'$ — проекции точек $A$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AA' = CC' = 3$ см.

Вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B$.

Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A'B$. По условию, его длина $A'B = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$ (угол $AA'B$ прямой). По теореме Пифагора найдем длину стороны $AB$ параллелограмма:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AB = 5$ см.

Аналогично, проекцией отрезка $BC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $C'B$. По условию, $C'B = 3\sqrt{3}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC'B$ (угол $CC'B$ прямой). Найдем длину стороны $BC$:

$BC^2 = CC'^2 + C'B^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$

$BC = 6$ см.

Теперь мы знаем длины сторон параллелограмма ($AB=5$ см, $BC=6$ см) и одной из его диагоналей ($AC=8$ см). Для нахождения второй диагонали $BD$ воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Подставим известные значения:

$8^2 + BD^2 = 2(5^2 + 6^2)$

$64 + BD^2 = 2(25 + 36)$

$64 + BD^2 = 2 \cdot 61$

$64 + BD^2 = 122$

$BD^2 = 122 - 64 = 58$

$BD = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.

3.

Рассмотрим основание тетраэдра — треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AC = CB = 20$ см. Пусть $M$ — середина основания $AB$. Тогда $AM = MB = 24/2 = 12$ см. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также высотой, то есть $CM \perp AB$.

Рассмотрим грань $PAB$. Она также является равнобедренным треугольником, так как $AP = PB$. Медиана $PM$ к основанию $AB$ также является высотой, то есть $PM \perp AB$.

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CM$ и $PM$) в плоскости $(PMC)$, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(PMC)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $PF$ равно расстоянию от прямой $AB$ до плоскости, проходящей через $PF$ и параллельной $AB$. Также это расстояние можно найти, спроецировав одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Так как плоскость $(PMC)$ перпендикулярна прямой $AB$, искомое расстояние равно расстоянию от проекции прямой $AB$ на эту плоскость до проекции прямой $PF$ на эту же плоскость.

Проекцией всей прямой $AB$ на перпендикулярную ей плоскость $(PMC)$ является точка их пересечения — точка $M$.

Проекцией прямой $PF$ на плоскость $(PMC)$ является прямая $PF_{пр}$, где $F_{пр}$ — ортогональная проекция точки $F$ на плоскость $(PMC)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$ в плоскости $(PMC)$.

Найдем положение точки $F_{пр}$ в плоскости $(PMC)$. Точка $F$ лежит на ребре $BC$. Рассмотрим проекции точек $B$, $C$, $F$ на прямую $CM$, которая лежит в плоскости $(PMC)$. Проекцией точки $C$ является сама точка $C$. Проекцией точки $B$ на прямую $CM$ является точка $M$ (так как $CM \perp AB$, а значит и $CM \perp BM$). Пусть $F_{пр}$ — проекция $F$ на прямую $CM$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), так как точка $F$ делит отрезок $BC$ в отношении $BF:FC = 7:1$, то ее проекция $F_{пр}$ делит проекцию отрезка $BC$ (отрезок $MC$) в том же отношении: $MF_{пр}:F_{пр}C = 7:1$.

Найдем длину $CM$ из прямоугольного треугольника $AMC$:

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Так как $MF_{пр}:F_{пр}C = 7:1$, то $MF_{пр} = \frac{7}{8} CM = \frac{7}{8} \cdot 16 = 14$ см.

Итак, в плоскости $(PMC)$ нам нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$. Это расстояние является высотой $h$ треугольника $PMF_{пр}$, опущенной из вершины $M$.

Условия задачи ($AP=PB$, $AC=CB$) определяют, что точка $P$ лежит в плоскости $(PMC)$, но ее точное положение в этой плоскости не задано. Расстояние от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$ будет зависеть от положения точки $P$. Следовательно, в представленной формулировке задача не имеет однозначного численного решения. Вероятно, в условии пропущено дополнительное данное, фиксирующее положение точки $P$ (например, высота тетраэдра, длина бокового ребра $PA$ или свойство перпендикулярности граней).

Ответ: В задаче недостаточно данных для однозначного ответа.