Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

1. Из точки $K$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $KA$ и $KB$, длины которых равны 26 см и 30 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $KA$ и $KB$ относятся как $5 : 9$.

2. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $AC$. Расстояние между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$ равно 3 см, а проекции отрезков $AB$ и $BC$ на эту плоскость равны 4 см и $3\sqrt{3}$ см соответственно. Найдите диагональ $BD$ параллелограмма, если диагональ $AC$ равна 8 см.

3. На ребре $BC$ тетраэдра $PABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 7 : 1$. Известно, что $AP = PB$, $AC = CB = 20$ см, $AB = 24$ см. Найдите расстояние между прямыми $PF$ и $AB$.

1.

Пусть $KH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда $KH$ является искомым расстоянием. Отрезки $KA$ и $KB$ — наклонные, а $HA$ и $HB$ — их проекции на плоскость $\alpha$.

Образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle KHA$ и $\triangle KHB$, с общим катетом $KH$. Обозначим длину этого катета как $h$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$KA^2 = KH^2 + HA^2$

$KB^2 = KH^2 + HB^2$

Подставим известные значения длин наклонных:

$26^2 = h^2 + HA^2 \Rightarrow 676 = h^2 + HA^2$

$30^2 = h^2 + HB^2 \Rightarrow 900 = h^2 + HB^2$

По условию, проекции относятся как $5:9$, то есть $HA : HB = 5 : 9$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $HA = 5x$ и $HB = 9x$.

Подставим эти выражения в уравнения:

$676 = h^2 + (5x)^2 \Rightarrow 676 = h^2 + 25x^2$

$900 = h^2 + (9x)^2 \Rightarrow 900 = h^2 + 81x^2$

Получили систему двух уравнений с двумя переменными. Выразим $h^2$ из первого уравнения и подставим во второе:

$h^2 = 676 - 25x^2$

$900 = (676 - 25x^2) + 81x^2$

$900 = 676 + 56x^2$

$56x^2 = 900 - 676$

$56x^2 = 224$

$x^2 = \frac{224}{56} = 4$

$x = 2$ (так как длина должна быть положительной)

Теперь найдем $h^2$, используя выражение для $h^2$:

$h^2 = 676 - 25x^2 = 676 - 25 \cdot 4 = 676 - 100 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

2.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна диагонали $AC$, расстояние от любой точки прямой $AC$ до плоскости $\alpha$ одинаково и равно 3 см. Пусть $A'$ и $C'$ — проекции точек $A$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AA' = CC' = 3$ см.

Вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B$.

Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A'B$. По условию, его длина $A'B = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$ (угол $AA'B$ прямой). По теореме Пифагора найдем длину стороны $AB$ параллелограмма:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AB = 5$ см.

Аналогично, проекцией отрезка $BC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $C'B$. По условию, $C'B = 3\sqrt{3}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC'B$ (угол $CC'B$ прямой). Найдем длину стороны $BC$:

$BC^2 = CC'^2 + C'B^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$

$BC = 6$ см.

Теперь мы знаем длины сторон параллелограмма ($AB=5$ см, $BC=6$ см) и одной из его диагоналей ($AC=8$ см). Для нахождения второй диагонали $BD$ воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Подставим известные значения:

$8^2 + BD^2 = 2(5^2 + 6^2)$

$64 + BD^2 = 2(25 + 36)$

$64 + BD^2 = 2 \cdot 61$

$64 + BD^2 = 122$

$BD^2 = 122 - 64 = 58$

$BD = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.

3.

Рассмотрим основание тетраэдра — треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AC = CB = 20$ см. Пусть $M$ — середина основания $AB$. Тогда $AM = MB = 24/2 = 12$ см. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также высотой, то есть $CM \perp AB$.

Рассмотрим грань $PAB$. Она также является равнобедренным треугольником, так как $AP = PB$. Медиана $PM$ к основанию $AB$ также является высотой, то есть $PM \perp AB$.

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CM$ и $PM$) в плоскости $(PMC)$, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(PMC)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $PF$ равно расстоянию от прямой $AB$ до плоскости, проходящей через $PF$ и параллельной $AB$. Также это расстояние можно найти, спроецировав одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Так как плоскость $(PMC)$ перпендикулярна прямой $AB$, искомое расстояние равно расстоянию от проекции прямой $AB$ на эту плоскость до проекции прямой $PF$ на эту же плоскость.

Проекцией всей прямой $AB$ на перпендикулярную ей плоскость $(PMC)$ является точка их пересечения — точка $M$.

Проекцией прямой $PF$ на плоскость $(PMC)$ является прямая $PF_{пр}$, где $F_{пр}$ — ортогональная проекция точки $F$ на плоскость $(PMC)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$ в плоскости $(PMC)$.

Найдем положение точки $F_{пр}$ в плоскости $(PMC)$. Точка $F$ лежит на ребре $BC$. Рассмотрим проекции точек $B$, $C$, $F$ на прямую $CM$, которая лежит в плоскости $(PMC)$. Проекцией точки $C$ является сама точка $C$. Проекцией точки $B$ на прямую $CM$ является точка $M$ (так как $CM \perp AB$, а значит и $CM \perp BM$). Пусть $F_{пр}$ — проекция $F$ на прямую $CM$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), так как точка $F$ делит отрезок $BC$ в отношении $BF:FC = 7:1$, то ее проекция $F_{пр}$ делит проекцию отрезка $BC$ (отрезок $MC$) в том же отношении: $MF_{пр}:F_{пр}C = 7:1$.

Найдем длину $CM$ из прямоугольного треугольника $AMC$:

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Так как $MF_{пр}:F_{пр}C = 7:1$, то $MF_{пр} = \frac{7}{8} CM = \frac{7}{8} \cdot 16 = 14$ см.

Итак, в плоскости $(PMC)$ нам нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$. Это расстояние является высотой $h$ треугольника $PMF_{пр}$, опущенной из вершины $M$.

Условия задачи ($AP=PB$, $AC=CB$) определяют, что точка $P$ лежит в плоскости $(PMC)$, но ее точное положение в этой плоскости не задано. Расстояние от точки $M$ до прямой $PF_{пр}$ будет зависеть от положения точки $P$. Следовательно, в представленной формулировке задача не имеет однозначного численного решения. Вероятно, в условии пропущено дополнительное данное, фиксирующее положение точки $P$ (например, высота тетраэдра, длина бокового ребра $PA$ или свойство перпендикулярности граней).

Ответ: В задаче недостаточно данных для однозначного ответа.

Самостоятельная работа № 12

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Сторона равностороннего треугольника равна 24 см. Через центр $O$ треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр $OD$. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 7 см. Найдите отрезок $OD$.

2. Из точки $P$, не принадлежащей плоскости прямого угла $ABC$, проведены перпендикуляры $PE$ и $PF$ к его сторонам. Известно, что $PE = PF = 4$ см, $PB = 5$ см. Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB : AD = 1 : 4$. На ребре $AD$ отметили точку $E$ так, что прямая $CE$ перпендикулярна прямой $D_1B$. Найдите отношение $AE : AD$.

1.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 24$ см. Центр треугольника $O$ является точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис. Из точки $O$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$, то есть $OD \perp (ABC)$.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника — это длина наклонной, проведенной перпендикулярно к этой стороне. Пусть $H$ — середина стороны $AC$. Тогда $BH$ — высота и медиана треугольника $ABC$. Отрезок $OH$ является радиусом вписанной в треугольник окружности и перпендикулярен стороне $AC$ ($OH \perp AC$). Расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $DH$. По условию, $DH = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $DOH$. Так как $OD \perp (ABC)$, а $OH$ лежит в плоскости $ABC$, то $OD \perp OH$. Следовательно, треугольник $DOH$ — прямоугольный.

По теореме о трёх перпендикулярах: так как прямая $OD$ (перпендикуляр) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, $DH$ (наклонная) перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то и проекция $OH$ наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$ перпендикулярна прямой $AC$.

Найдём длину $OH$. Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности $r$ (которым и является отрезок $OH$) вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим значение стороны $a = 24$ см: $OH = r = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $DOH$ по теореме Пифагора найдём катет $OD$: $DH^2 = OD^2 + OH^2$ $OD^2 = DH^2 - OH^2$ $OD^2 = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$ $OD = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

2.

Пусть $PH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на плоскость прямого угла $ABC$. Длина этого перпендикуляра $PH$ и есть искомое расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$.

По условию, $PE \perp BA$ и $PF \perp BC$. Отрезки $PE$ и $PF$ являются наклонными к плоскости $ABC$, а отрезки $HE$ и $HF$ — их проекциями на эту плоскость.

По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и её проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно: $HE \perp BA$ $HF \perp BC$

Рассмотрим четырёхугольник $BEHF$ в плоскости $ABC$. В нём $\angle EBF = 90^\circ$ (по условию), $\angle BEH = 90^\circ$ и $\angle BFH = 90^\circ$. Следовательно, $BEHF$ — прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PHE$ и $\triangle PHF$ (углы при вершине $H$ прямые, так как $PH \perp (ABC)$). По теореме Пифагора: $PE^2 = PH^2 + HE^2$ $PF^2 = PH^2 + HF^2$

Так как по условию $PE = PF = 4$ см, то $PE^2 = PF^2$, и значит $PH^2 + HE^2 = PH^2 + HF^2$, откуда следует, что $HE = HF$. Поскольку $BEHF$ — прямоугольник, у которого смежные стороны $HE$ и $HF$ равны, то $BEHF$ — квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PHB$. По теореме Пифагора: $PB^2 = PH^2 + HB^2$

$HB$ — диагональ квадрата $BEHF$. Длина диагонали квадрата связана с его стороной ($HE$) соотношением $HB^2 = HE^2 + HF^2 = 2HE^2$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($PH^2$ и $HE^2$): 1) $PE^2 = PH^2 + HE^2 \implies 16 = PH^2 + HE^2$ 2) $PB^2 = PH^2 + HB^2 \implies 5^2 = PH^2 + 2HE^2 \implies 25 = PH^2 + 2HE^2$

Вычтем первое уравнение из второго: $(PH^2 + 2HE^2) - (PH^2 + HE^2) = 25 - 16$ $HE^2 = 9$

Подставим значение $HE^2$ в первое уравнение: $16 = PH^2 + 9$ $PH^2 = 16 - 9 = 7$ $PH = \sqrt{7}$ см.

Ответ: $\sqrt{7}$ см.

3.

Для решения задачи введём систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Пусть $AB = k$. Тогда, согласно условию $AB:AD = 1:4$, имеем $AD = 4k$. Высоту параллелепипеда обозначим как $AA_1 = h$. Определим координаты нужных нам точек: $B = (k, 0, 0)$ $C = (k, 4k, 0)$ $D_1 = (0, 4k, h)$

Точка $E$ лежит на ребре $AD$, которое совпадает с осью $Oy$. Следовательно, её координаты $E = (0, y_E, 0)$, где $y_E$ — это и есть длина отрезка $AE$.

Найдём координаты векторов $\vec{CE}$ и $\vec{D_1B}$: $\vec{CE} = \{0 - k; y_E - 4k; 0 - 0\} = \{-k; y_E - 4k; 0\}$ $\vec{D_1B} = \{k - 0; 0 - 4k; 0 - h\} = \{k; -4k; -h\}$

По условию, прямая $CE$ перпендикулярна прямой $D_1B$. Это означает, что направляющие векторы этих прямых перпендикулярны, а их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CE} \cdot \vec{D_1B} = 0$

Запишем скалярное произведение через координаты векторов: $(-k)(k) + (y_E - 4k)(-4k) + (0)(-h) = 0$ $-k^2 - 4ky_E + 16k^2 = 0$ $15k^2 - 4ky_E = 0$

Вынесем $k$ за скобки: $k(15k - 4y_E) = 0$

Так как $k$ — это длина ребра, $k \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $k$: $15k - 4y_E = 0$ $4y_E = 15k$ $y_E = \frac{15k}{4}$

Мы нашли, что $AE = y_E = \frac{15k}{4}$. Длина ребра $AD = 4k$. Теперь найдём искомое отношение: $\frac{AE}{AD} = \frac{\frac{15k}{4}}{4k} = \frac{15k}{4 \cdot 4k} = \frac{15k}{16k} = \frac{15}{16}$

Ответ: 15 : 16.