Страница 52 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 1

Контрольная работа № 1

Аксиомы стереометрии и следствия из них.

Начальные представления о многогранниках

1. Даны точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $AB = 2$ см, $BC = 5$ см, $AC = 3$ см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки $A$, $B$ и $C$? Ответ обоснуйте.

2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точки $B$ и $D$ — плоскости $\beta$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что точка $F$ принадлежит прямой $a$.

3. Середина стороны $AB$, а также середины диагоналей $AD$ и $BD$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$ принадлежат плоскости $\alpha$. Докажите, что все вершины пятиугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

4. На рёбрах $BC$ и $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. Постройте линию пересечения плоскостей $BA_1N$ и $AMC_1$.

5. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно рёбрам $SB$ и $SC$ тетраэдра $SABC$, а точка $N$ — грани $ABC$ (рис. 49), причём прямые $MK$ и $BC$ не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 49

1.

Чтобы определить, сколько плоскостей проходит через три точки A, B и C, необходимо проверить, лежат ли эти точки на одной прямой. Для этого воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Если же сумма длин двух отрезков, выходящих из одной точки, равна длине отрезка, соединяющего их концы, то все три точки лежат на одной прямой.

Даны длины отрезков: $AB = 2$ см, $BC = 5$ см, $AC = 3$ см.

Проверим, выполняется ли равенство для какого-либо из отрезков:

$AB + AC = 2 + 3 = 5$ см.

Эта сумма равна длине отрезка $BC$. Так как $AB + AC = BC$, точки A, B и C лежат на одной прямой, причём точка A находится между точками B и C.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, через них также можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: Существует бесконечно много плоскостей, содержащих точки A, B и C, так как эти точки лежат на одной прямой.

2.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Это означает, что любая точка, принадлежащая одновременно обеим плоскостям, должна лежать на прямой $a$.

1. Точки A и C принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, вся прямая AC лежит в плоскости $\alpha$ (записывается как $AC \subset \alpha$).

2. Аналогично, точки B и D принадлежат плоскости $\beta$. Следовательно, вся прямая BD лежит в плоскости $\beta$ ($BD \subset \beta$).

3. Прямые AC и BD пересекаются в точке F. Это означает, что точка F принадлежит как прямой AC, так и прямой BD.

4. Из того, что $F \in AC$ и $AC \subset \alpha$, следует, что точка F принадлежит плоскости $\alpha$ ($F \in \alpha$).

5. Из того, что $F \in BD$ и $BD \subset \beta$, следует, что точка F принадлежит плоскости $\beta$ ($F \in \beta$).

6. Таким образом, точка F принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Поскольку линией пересечения этих плоскостей является прямая $a$, точка F должна принадлежать этой прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка F принадлежит прямой a.

3.

Пусть M — середина стороны AB, P — середина диагонали AD, а Q — середина диагонали BD выпуклого пятиугольника ABCDE. По условию, точки M, P и Q принадлежат плоскости $\alpha$.

1. Рассмотрим треугольник ABD. Точки M, P, Q являются серединами его сторон (M — середина AB, P — середина AD, Q — середина BD). Эти три точки не лежат на одной прямой, так как они являются вершинами треугольника, образованного средними линиями $\triangle ABD$.

2. Согласно аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Так как точки M, P, Q лежат в плоскости $\alpha$, то они однозначно определяют эту плоскость.

3. Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник ABD. Обозначим её $\gamma$. Точка M, как середина AB, лежит в плоскости $\gamma$. Точка P, как середина AD, лежит в плоскости $\gamma$. Точка Q, как середина BD, лежит в плоскости $\gamma$.

4. Таким образом, три не лежащие на одной прямой точки M, P, Q принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\gamma$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ совпадают.

5. Из совпадения плоскостей следует, что все точки плоскости $\gamma$ (плоскости треугольника ABD) лежат в плоскости $\alpha$. В частности, вершины A, B и D принадлежат плоскости $\alpha$.

6. Пятиугольник ABCDE по определению является плоской фигурой, то есть все его вершины лежат в одной плоскости. Мы уже установили, что три его вершины (A, B, D), не лежащие на одной прямой, принадлежат плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскость пятиугольника и есть плоскость $\alpha$.

7. Следовательно, все остальные вершины пятиугольника, C и E, также принадлежат плоскости $\alpha$.

Таким образом, все вершины пятиугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Доказано, что все вершины пятиугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

4.

Для построения линии пересечения двух плоскостей $(BA_1N)$ и $(AMC_1)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Построение:

1. Найдём первую общую точку.
Рассмотрим грань призмы $BCC_1B_1$. В плоскости этой грани лежат прямые $BN$ (так как $B, N \in (BCC_1B_1)$) и $MC_1$ (так как $M, C_1 \in (BCC_1B_1)$). Прямая $BN$ принадлежит плоскости $(BA_1N)$, а прямая $MC_1$ принадлежит плоскости $(AMC_1)$. Так как эти прямые лежат в одной плоскости и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Найдём точку их пересечения $P = BN \cap MC_1$.
Поскольку $P \in BN$, то $P$ принадлежит плоскости $(BA_1N)$.
Поскольку $P \in MC_1$, то $P$ принадлежит плоскости $(AMC_1)$.
Следовательно, точка $P$ — первая точка искомой линии пересечения.

2. Найдём вторую общую точку.
Для этого воспользуемся методом следов. Найдём линию пересечения (след) плоскости $(BA_1N)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точка $B$ уже является общей для этих двух плоскостей. Найдём ещё одну общую точку. Для этого найдём точку пересечения прямой $A_1N$ (из плоскости $(BA_1N)$) с плоскостью $(ABC)$.
Прямая $A_1N$ лежит в плоскости грани $AA_1C_1C$. Плоскость $AA_1C_1C$ пересекается с плоскостью $(ABC)$ по прямой $AC$. Найдём точку пересечения прямых $A_1N$ и $AC$ в плоскости $AA_1C_1C$: $R = A_1N \cap AC$.
Точка $R$ принадлежит прямой $A_1N$, а значит и плоскости $(BA_1N)$. Точка $R$ также принадлежит прямой $AC$, а значит и плоскости $(ABC)$.
Таким образом, линия пересечения плоскостей $(BA_1N)$ и $(ABC)$ — это прямая $BR$.

Теперь найдём точку пересечения плоскости $(AMC_1)$ с найденной линией $BR$. Прямая $AM$ лежит и в плоскости $(AMC_1)$, и в плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка пересечения прямой $AM$ с прямой $BR$ будет общей точкой для всех трёх плоскостей: $(AMC_1)$, $(BA_1N)$ и $(ABC)$. Найдём эту точку: $S = AM \cap BR$.
Поскольку $S \in AM$, то $S$ принадлежит плоскости $(AMC_1)$.
Поскольку $S \in BR$, то $S$ принадлежит плоскости $(BA_1N)$.
Следовательно, точка $S$ — вторая точка искомой линии пересечения.

3. Построим искомую линию.
Соединив найденные точки $P$ и $S$, получим прямую $PS$. Эта прямая является линией пересечения плоскостей $(BA_1N)$ и $(AMC_1)$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $BA_1N$ и $AMC_1$ есть прямая $PS$, где $P$ — точка пересечения прямых $BN$ и $MC_1$, а $S$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BR$, где $R$ — точка пересечения прямых $A_1N$ и $AC$.

5.

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $MNK$ необходимо найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами тетраэдра и соединить их отрезками, которые являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.

Построение:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $SB$ и $SC$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани $SBC$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с гранью $SBC$. Это первая сторона многоугольника сечения.

2. Найдём линию пересечения (след) секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания $ABC$. Точка $N$ по условию уже лежит в обеих плоскостях. Найдём вторую общую точку. Прямая $MK$ лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани $SBC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания, а также в плоскости грани $SBC$. По условию, прямые $MK$ и $BC$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости $(SBC)$, они пересекаются. Построим точку их пересечения: $P = MK \cap BC$.

3. Точка $P$ принадлежит прямой $MK$, следовательно, $P \in (MNK)$. Точка $P$ принадлежит прямой $BC$, следовательно, $P \in (ABC)$. Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$.

4. Прямая, проходящая через точки $N$ и $P$, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $ABC$. Проведём прямую $NP$.

5. Найдём точки пересечения прямой $NP$ с рёбрами основания $ABC$. Пусть прямая $NP$ пересекает ребро $AB$ в точке $E$ и ребро $AC$ в точке $F$. (В зависимости от положения точки N, прямая может пересекать другие рёбра, но общий принцип построения сохраняется).

6. Теперь у нас есть все точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра: $M$ на $SB$, $K$ на $SC$, $E$ на $AB$ и $F$ на $AC$.

7. Соединяем последовательно полученные точки отрезками:
- $MK$ (уже построен)
- $KF$ (в грани $SAC$)
- $FE$ (в грани $ABC$)
- $EM$ (в грани $SAB$)

Полученный четырёхугольник $M K F E$ является искомым сечением тетраэдра плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомым сечением является четырёхугольник $MKFE$, построенный согласно описанным шагам.