Страница 58 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 3

Перпендикулярность прямой и плоскости

1. На рисунке 59 изображён прямоугольный треугольник ABC ($\angle ACB = 90^\circ$). Через точку C проведена прямая DC, перпендикулярная прямой AC. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости BCD.

Рис. 59

2. Через вершину B правильного треугольника ABC со стороной 6 см проведена прямая MB, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки M до прямой AC равно $2\sqrt{13}$ см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

3. Через вершину C квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр KC. Точка K удалена от стороны AB на 9 см, а от плоскости квадрата — на $3\sqrt{7}$ см. Найдите диагональ квадрата.

4. Точка F равноудалена от сторон равнобокой трапеции ABCD ($BC \parallel AD$) и находится на расстоянии 15 см от её плоскости. Найдите расстояние от точки F до сторон трапеции, если $AD = 32$ см, $BC = 8$ см.

5. Ребро DA тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что $AB = 2$ см, $BC = 10$ см, $AC = DA = 6\sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямыми AB и DC.

1. По условию, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C, следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BC ($AC \perp BC$).
Также по условию, прямая DC перпендикулярна прямой AC ($DC \perp AC$).
Прямые BC и DC лежат в плоскости BCD и пересекаются в точке C.
Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Так как прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и DC в плоскости BCD, то прямая AC перпендикулярна плоскости BCD, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что прямая AC перпендикулярна плоскости BCD.

2. Расстояние от точки M до плоскости ABC — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на эту плоскость. По условию, прямая MB перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, длина отрезка MB является искомым расстоянием.
Пусть MH — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую AC. Тогда длина MH — это расстояние от точки M до прямой AC, и по условию $MH = 2\sqrt{13}$ см.
Отрезок MB является перпендикуляром к плоскости ABC, а отрезок MH — наклонной к этой плоскости. Отрезок BH является проекцией наклонной MH на плоскость ABC.
По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная MH перпендикулярна прямой AC ($MH \perp AC$), то и ее проекция BH перпендикулярна прямой AC ($BH \perp AC$).
В правильном треугольнике ABC отрезок BH является высотой. Длина высоты правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
При $a = 6$ см, $BH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Рассмотрим треугольник MBH. Так как $MB \perp$ плоскости ABC, то $MB \perp BH$. Следовательно, треугольник MBH — прямоугольный с прямым углом B.
По теореме Пифагора: $MB^2 + BH^2 = MH^2$.
$MB^2 = MH^2 - BH^2 = (2\sqrt{13})^2 - (3\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 13) - (9 \cdot 3) = 52 - 27 = 25$.
$MB = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3. Расстояние от точки K до плоскости квадрата ABCD — это длина перпендикуляра KC. Таким образом, $KC = 3\sqrt{7}$ см.
Расстояние от точки K до стороны AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую AB. Обозначим этот перпендикуляр KH, где H — точка на прямой AB. Тогда $KH = 9$ см.
KC — перпендикуляр к плоскости ABCD, KH — наклонная, CH — ее проекция на плоскость ABCD. По теореме о трех перпендикулярах, так как $KH \perp AB$, то $CH \perp AB$.
В квадрате ABCD сторона BC перпендикулярна стороне AB ($BC \perp AB$). Так как из точки C к прямой AB можно провести только один перпендикуляр в плоскости квадрата, то проекция CH совпадает со стороной BC, а точка H совпадает с точкой B. Следовательно, расстояние от точки K до стороны AB равно длине отрезка KB, то есть $KB = 9$ см.
Рассмотрим треугольник KCB. Так как $KC \perp$ плоскости ABCD, то $KC \perp BC$. Значит, треугольник KCB — прямоугольный с прямым углом C.
По теореме Пифагора: $KC^2 + BC^2 = KB^2$.
$BC^2 = KB^2 - KC^2 = 9^2 - (3\sqrt{7})^2 = 81 - (9 \cdot 7) = 81 - 63 = 18$.
$BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см. Это сторона квадрата.
Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.
$d = (3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

4. Пусть O — проекция точки F на плоскость трапеции. Тогда $FO = 15$ см — расстояние от F до плоскости.
Так как точка F равноудалена от всех сторон трапеции, то и ее проекция O равноудалена от всех сторон трапеции. Это означает, что O — центр окружности, вписанной в трапецию.
В трапецию можно вписать окружность, если суммы ее противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$): $AD + BC = AB + CD$.
$32 + 8 = 2 \cdot AB \implies 40 = 2 \cdot AB \implies AB = CD = 20$ см.
Проведем высоту $BH$ из вершины B на основание AD. В равнобокой трапеции $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{32 - 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Из прямоугольного треугольника ABH найдем высоту трапеции $h = BH$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$.
$h = \sqrt{256} = 16$ см.
Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты трапеции: $r = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Это расстояние от точки O до сторон трапеции.
Расстояние от точки F до сторон трапеции — это длина наклонной, проведенной из F к любой из сторон. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются перпендикуляр FO к плоскости и радиус $r$ вписанной окружности, а гипотенузой — искомое расстояние $d$.
$d^2 = FO^2 + r^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$d = \sqrt{289} = 17$ см.
Ответ: 17 см.

5. Прямые AB и DC — скрещивающиеся. Угол между ними равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны данным. Для нахождения угла воспользуемся методом координат.
Так как $DA \perp$ плоскости ABC, поместим начало координат в точку A(0, 0, 0). Ось z направим вдоль ребра DA, а плоскость ABC будет совпадать с плоскостью xy.
Координаты вершин:
A = (0, 0, 0).
D = (0, 0, DA) = $(0, 0, 6\sqrt{2})$.
Направим ось x вдоль прямой AB. Тогда B = (AB, 0, 0) = (2, 0, 0).
Найдем координаты точки C = (x, y, 0). Известны расстояния AC и BC.
$AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-0)^2 = x^2 + y^2$.
$(6\sqrt{2})^2 = x^2 + y^2 \implies 72 = x^2 + y^2$.
$BC^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (0-0)^2 = (x-2)^2 + y^2$.
$10^2 = (x-2)^2 + y^2 \implies 100 = x^2 - 4x + 4 + y^2$.
Подставим $x^2 + y^2 = 72$ во второе уравнение:
$100 = 72 - 4x + 4 \implies 100 = 76 - 4x \implies 24 = -4x \implies x = -6$.
Найдем y: $y^2 = 72 - x^2 = 72 - (-6)^2 = 72 - 36 = 36 \implies y = 6$ (выбираем положительное значение, это не влияет на результат).
Итак, C = (-6, 6, 0).
Теперь найдем векторы, соответствующие прямым AB и DC.
Вектор $\vec{AB} = (2-0, 0-0, 0-0) = (2, 0, 0)$.
Вектор $\vec{DC} = (-6-0, 6-0, 0-6\sqrt{2}) = (-6, 6, -6\sqrt{2})$.
Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}|}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 2 \cdot (-6) + 0 \cdot 6 + 0 \cdot (-6\sqrt{2}) = -12$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2$.
$|\vec{DC}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-6\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 36 + 72} = \sqrt{144} = 12$.
$\cos \alpha = \frac{-12}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{2}$.
Угол между векторами $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.
Угол между прямыми принимается за острый угол, поэтому искомый угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Ответ: 60°.