Страница 51 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно $3\sqrt{6}$ см, а сторона меньшего основания — 2 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота равна 6 см.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 42 см, а её высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Площади оснований усечённой пирамиды равны $20\text{ см}^2$ и $34\text{ см}^2$, а площадь боковой поверхности — $14\sqrt{2}\text{ см}^2$. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны. Найдите эти углы.

1.

Дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основаниями являются квадраты. Диагональное сечение такой пирамиды представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), боковыми сторонами — боковые рёбра пирамиды ($l$), а высотой — высота самой пирамиды ($H$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{сечения} = \frac{d_1 + d_2}{2} H$

Из условия задачи известны: боковое ребро $l = 3\sqrt{6}$ см, сторона меньшего основания $a_2 = 2$ см, высота пирамиды $H = 6$ см.

1. Найдём диагональ меньшего основания. Так как это квадрат со стороной $a_2 = 2$ см, его диагональ $d_2$ равна: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Найдём диагональ большего основания $d_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна полуразности диагоналей оснований: $\frac{d_1 - d_2}{2}$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + \left(\frac{d_1 - d_2}{2}\right)^2$

Подставим известные значения: $(3\sqrt{6})^2 = 6^2 + \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$ $54 = 36 + \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$ $18 = \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{18} = \frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}$ $3\sqrt{2} = \frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}$ $6\sqrt{2} = d_1 - 2\sqrt{2}$ $d_1 = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить площадь диагонального сечения: $S_{сечения} = \frac{d_1 + d_2}{2} H = \frac{8\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 6 = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot 6 = 5\sqrt{2} \cdot 6 = 30\sqrt{2}$ см².

Ответ: $30\sqrt{2}$ см².

2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_s$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

В основании правильной треугольной пирамиды лежат равносторонние треугольники. Дано: стороны оснований $a_1 = 42$ см и $a_2 = 12$ см, высота пирамиды $H = 5$ см.

1. Найдём периметры оснований: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 42 = 126$ см. $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

2. Найдём апофему $h_s$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усечённой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$).

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Найдём радиусы для наших оснований: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{42}{2\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3}$ см. $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора: $h_s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ $h_s^2 = 5^2 + (7\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 25 \cdot 3 = 25 + 75 = 100$ $h_s = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}(126 + 36) \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 162 \cdot 10 = 81 \cdot 10 = 810$ см².

Ответ: $810$ см².

3.

Условие, что все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны, позволяет использовать теорему о площади ортогональной проекции.

Проекцией боковой поверхности усечённой пирамиды на плоскость большего основания является кольцо, площадь которого равна разности площадей большего и меньшего оснований: $S_{проекции} = S_1 - S_2$

С другой стороны, площадь проекции связана с площадью самой поверхности через косинус угла между плоскостями (в данном случае, двугранного угла $\alpha$): $S_{проекции} = S_{бок} \cdot \cos \alpha$

Приравнивая два выражения для площади проекции, получаем формулу: $S_1 - S_2 = S_{бок} \cdot \cos \alpha$

Из условия задачи нам известны: $S_1 = 34$ см², $S_2 = 20$ см², $S_{бок} = 14\sqrt{2}$ см². Подставим эти значения в формулу: $34 - 20 = 14\sqrt{2} \cdot \cos \alpha$ $14 = 14\sqrt{2} \cdot \cos \alpha$

Выразим $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \frac{14}{14\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдём угол $\alpha$: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $MC$, $MA$, $AB$ и $BC$ тетраэдра $MABC$ в точках $K, N, E$ и $F$ соответственно. Известно, что $CK : KM = 7 : 3$, $MN : NA = 6 : 5$, $AE : EB = 1 : 7$. Найдите отношение $AD : DB$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $DB$ ортоцентрического тетраэдра $DABC$, если $AC = 20$ см, $DB = 21$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $DABC$, если $BC = 7$ см, $CD = 9$ см, $DB = \sqrt{70}$ см.

1.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Вершины тетраэдра обозначены как M, A, B, C, в то время как требуется найти отношение AD:DB, где точка D не определена. Наиболее вероятным является предположение, что имелось в виду найти отношение, в котором плоскость делит ребро BC, то есть CF:FB. Решим задачу в этой постановке.

Точки K, N, E, F лежат на рёбрах MC, MA, AB и BC соответственно и принадлежат одной плоскости. Рассмотрим пространственный аналог теоремы Менелая для тетраэдра или воспользуемся методом проекций.

Пусть прямые KN и EF, лежащие в секущей плоскости, пересекаются в точке P. Прямая KN лежит в плоскости грани MAC, а прямая EF лежит в плоскости грани ABC. Следовательно, их точка пересечения P должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой AC.

1. Применим теорему Менелая для треугольника MAC и секущей KNP:
$ \frac{MN}{NA} \cdot \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CK}{KM} = 1 $

По условию $CK : KM = 7 : 3$, значит $\frac{CK}{KM} = \frac{7}{3}$.
По условию $MN : NA = 6 : 5$, значит $\frac{MN}{NA} = \frac{6}{5}$.
Подставим известные значения в формулу:
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{AP}{PC} \cdot \frac{7}{3} = 1 $
$ \frac{14}{5} \cdot \frac{AP}{PC} = 1 $
$ \frac{AP}{PC} = \frac{5}{14} $

2. Теперь применим теорему Менелая для треугольника ABC и секущей EFP:
$ \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 $

По условию $AE : EB = 1 : 7$, значит $\frac{AE}{EB} = \frac{1}{7}$.
Из предыдущего шага мы знаем, что $\frac{AP}{PC} = \frac{5}{14}$, следовательно, $\frac{CP}{PA} = \frac{14}{5}$.
Подставим значения в формулу:
$ \frac{1}{7} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{14}{5} = 1 $
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{BF}{FC} = 1 $
$ \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $

Таким образом, искомое отношение $CF : FB = 2 : 5$.

Другой способ решения — использование теоремы о сечении тетраэдра плоскостью. Для скрещивающихся рёбер MA, AB, BC, CM и точек N, E, F, K на них справедливо соотношение:
$ \frac{MN}{NA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CK}{KM} = 1 $
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{7}{3} = 1 $
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{BF}{FC} = 1 \implies \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $
Следовательно, $CF : FB = 2 : 5$.

Ответ: 2:5

2.

Ортоцентрическим называется тетраэдр, у которого все четыре высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке. Основное свойство ортоцентрического тетраэдра: суммы квадратов длин противоположных рёбер равны.

Для тетраэдра DABC это означает:
$ DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2 $

Пусть P — середина ребра AC, а Q — середина ребра DB. Отрезок PQ, соединяющий середины скрещивающихся рёбер, называется бимедианой тетраэдра. Длина бимедианы, соединяющей середины рёбер AC и DB, в общем случае вычисляется по формуле:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(DA^2 + AB^2 + BC^2 + CD^2 - AC^2 - DB^2) $

Используем свойство ортоцентрического тетраэдра. Обозначим $S = DB^2 + AC^2$. Тогда $DA^2 + BC^2 = S$ и $DC^2 + AB^2 = S$. Подставим эти выражения в формулу для длины бимедианы:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}((DA^2 + BC^2) + (AB^2 + DC^2) - (AC^2 + DB^2)) = \frac{1}{4}(S + S - S) = \frac{S}{4} $

Таким образом, для ортоцентрического тетраэдра квадрат длины бимедианы равен четверти суммы квадратов длин соответствующих скрещивающихся рёбер.
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(AC^2 + DB^2) $

По условию $AC = 20$ см и $DB = 21$ см. Подставим эти значения:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(20^2 + 21^2) = \frac{1}{4}(400 + 441) = \frac{841}{4} $
$ PQ = \sqrt{\frac{841}{4}} = \frac{\sqrt{841}}{2} = \frac{29}{2} = 14,5 $ см.

Ответ: 14,5 см

3.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными между собой треугольниками. Из этого следует, что противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.

Пусть в тетраэдре DABC даны длины рёбер одной грани DBC: $BC = 7$ см, $CD = 9$ см, $DB = \sqrt{70}$ см.
Тогда длины противоположных им рёбер будут соответственно равны:
$DA = BC = 7$ см.
$AB = CD = 9$ см.
$AC = DB = \sqrt{70}$ см.

Все четыре грани тетраэдра — это равные треугольники со сторонами 7, 9 и $\sqrt{70}$.

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. В равногранном тетраэдре все четыре медианы равны по длине.

Найдём длину медианы $m_D$, проведённой из вершины D к центроиду грани ABC. Квадрат длины медианы тетраэдра вычисляется по формуле:
$ m_D^2 = \frac{1}{3}(DA^2 + DB^2 + DC^2) - \frac{1}{9}(AB^2 + BC^2 + AC^2) $

Для равногранного тетраэдра, как мы видим, набор длин рёбер, выходящих из одной вершины (например, D: DA, DB, DC), совпадает с набором длин сторон противоположной грани (ABC: AB, AC, BC).
Вычислим сумму квадратов длин рёбер:
$DA^2 + DB^2 + DC^2 = 7^2 + (\sqrt{70})^2 + 9^2 = 49 + 70 + 81 = 200$ см$^2$.
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9^2 + 7^2 + (\sqrt{70})^2 = 81 + 49 + 70 = 200$ см$^2$.

Подставим эти значения в формулу для медианы:
$ m_D^2 = \frac{1}{3}(200) - \frac{1}{9}(200) = 200 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{9}) = 200 \cdot (\frac{3-1}{9}) = 200 \cdot \frac{2}{9} = \frac{400}{9} $ см$^2$.

Тогда длина медианы:
$ m_D = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} $ см.

Так как тетраэдр равногранный, все его медианы равны $20/3$ см.

Ответ: все медианы равны $\frac{20}{3}$ см.