Страница 44 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Изображения плоских и пространственных фигур

1. На рисунке 45 точки $A_1$, $B_1$, $D$ — вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $O$ — середина отрезка $A_1C_1$. Постройте изображение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Рис. 45

2. Окружность касается сторон угла $ABC$ в точках $A$ и $C$. Прямая $d$, лежащая в плоскости $ABC$, перпендикулярна прямой $AC$ и проходит через точку $D$. На рисунке 46 точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ — изображения точек $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно. Постройте изображение прямой $d$.

Рис. 46

3. В равнобедренном треугольнике $PKF$ ($PK = KF$) сторона $PK$ равна 12 см, а высота $KD$ — $2\sqrt{35}$ см. В треугольник $PKF$ вписан ромб $PEMB$ так, что точки $E$, $M$ и $B$ принадлежат сторонам $PK$, $KF$ и $PF$ соответственно. На рисунке 47 треугольник $P_1K_1F_1$ — изображение треугольника $PKF$. Постройте изображение ромба $PEMB$.

Рис. 47

1.

Для построения изображения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по заданным точкам $A_1, B_1, D$ и $O$ (середина $A_1C_1$), воспользуемся свойствами параллельной проекции и свойствами куба.

1. Находим вершину $C_1$. Точка $O$ — середина диагонали $A_1C_1$ грани $A_1B_1C_1D_1$. При параллельной проекции середина отрезка изображается серединой изображения отрезка. Поэтому точка $O$ является серединой отрезка $A_1C_1$ на рисунке. Чтобы найти точку $C_1$, нужно продлить отрезок $A_1O$ за точку $O$ на такое же расстояние, то есть отложить отрезок $OC_1$, равный и сонаправленный отрезку $A_1O$.
2. Строим верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$. Грань куба является квадратом, а его изображение при параллельной проекции — параллелограмм. У нас уже есть три вершины этого параллелограмма: $A_1, B_1, C_1$. Четвертую вершину $D_1$ находим, используя правило параллелограмма: $\vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$. Для этого проводим через точку $A_1$ прямую, параллельную $B_1C_1$, а через точку $C_1$ — прямую, параллельную $A_1B_1$. Точка их пересечения и будет вершиной $D_1$.
3. Находим ребро, определяющее проекцию. У нас есть вершина $D$ нижнего основания и построенная вершина $D_1$ верхнего основания. Отрезок $DD_1$ — это изображение бокового ребра куба.
4. Строим нижнюю грань $ABCD$. Боковые ребра куба параллельны и равны. Следовательно, их изображения также параллельны и равны. Чтобы найти остальные вершины нижнего основания ($A, B, C$), нужно "сдвинуть" вершины верхнего основания ($A_1, B_1, C_1$) на вектор $\vec{D_1D}$. То есть:
   • Строим точку $A$ так, что $\vec{A_1A} = \vec{D_1D}$.
   • Строим точку $B$ так, что $\vec{B_1B} = \vec{D_1D}$.
   • Строим точку $C$ так, что $\vec{C_1C} = \vec{D_1D}$.
5. Завершаем построение. Соединяем все вершины отрезками, чтобы получить ребра куба. Ребра, которые невидимы зрителю (обычно это $AD$, $DC$, $DD_1$), изображаем штриховыми линиями. Остальные ребра изображаем сплошными линиями.

Ответ: Построение изображения куба выполнено согласно описанным шагам.

2.

Для построения изображения прямой $d$ (обозначим его $d_1$), проанализируем геометрические свойства исходной конфигурации.

Окружность касается сторон угла $ABC$ в точках $A$ и $C$. Это означает, что отрезки касательных, проведенных из одной точки ($B$) к окружности, равны: $BA = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Обозначим $M$ середину отрезка $AC$. Тогда прямая $BM$ является медианой и высотой, то есть $BM \perp AC$.

По условию задачи, прямая $d$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна прямой $AC$ ($d \perp AC$). Поскольку в одной плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, мы получаем, что $d \parallel BM$.

Параллельная проекция сохраняет свойство параллельности прямых. Это означает, что изображение прямой $d$ (прямая $d_1$) будет параллельно изображению прямой $BM$ (прямой $B_1M_1$, где $M_1$ — изображение точки $M$).

Таким образом, построение сводится к следующему:

1. Найти на изображении $A_1C_1$ середину — точку $M_1$.
2. Провести прямую $B_1M_1$, которая является изображением медианы (и высоты) $BM$.
3. Через заданную точку $D_1$ провести прямую $d_1$, параллельную прямой $B_1M_1$.

Полученная прямая $d_1$ и есть искомое изображение прямой $d$.

Ответ: Искомое изображение прямой d — это прямая, проходящая через точку D_1 параллельно медиане B_1M_1 треугольника A_1B_1C_1.

3.

Сначала проведем анализ и вычисления в оригинальном треугольнике $PKF$, а затем применим полученные результаты для построения изображения ромба.

1. Анализ и вычисления.

Дан равнобедренный треугольник $PKF$ с $PK = KF = 12$ см и высотой $KD = 2\sqrt{35}$ см, проведенной к основанию $PF$.

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, поэтому $D$ — середина $PF$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KDP$. По теореме Пифагора найдем половину основания $PD$:

$PD^2 = PK^2 - KD^2 = 12^2 - (2\sqrt{35})^2 = 144 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

$PD = \sqrt{4} = 2$ см.

Тогда все основание $PF = 2 \cdot PD = 4$ см.

В треугольник вписан ромб $PEMB$. Из названия и расположения точек ($E \in PK$, $M \in KF$, $B \in PF$) следует, что вершина $P$ треугольника является также одной из вершин ромба. Пусть сторона ромба равна $x$. Тогда $PE = PB = EM = MB = x$.

Поскольку $PEMB$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, в частности, $EM \parallel PB$. Так как $B$ и $P$ лежат на прямой $PF$, то $EM \parallel PF$.

Параллельность $EM$ и $PF$ означает, что треугольник $KEM$ подобен треугольнику $KPF$ ($\triangle KEM \sim \triangle KPF$).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{KE}{KP} = \frac{EM}{PF}$

Подставим известные значения и выразим стороны через $x$:

• $KE = KP - PE = 12 - x$
• $KP = 12$
• $EM = x$
• $PF = 4$

Получаем уравнение:

$\frac{12-x}{12} = \frac{x}{4}$

$4(12-x) = 12x$

$48 - 4x = 12x$

$48 = 16x$

$x = 3$ см.

Итак, сторона ромба равна 3 см. Теперь мы можем найти, в каком отношении вершины ромба делят стороны треугольника:

• Точка $E$ на стороне $PK$: $PE = 3$, $EK = 12 - 3 = 9$. Отношение $PE:EK = 3:9 = 1:3$.
• Точка $B$ на стороне $PF$: $PB = 3$, $BF = 4 - 3 = 1$. Отношение $PB:BF = 3:1$.
• Точка $M$ на стороне $KF$: по симметрии $FM = PE = 3$, $MK = 12 - 3 = 9$. Отношение $FM:MK = 3:9 = 1:3$.

2. Построение на изображении.

Параллельная проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому для построения изображения ромба $P_1E_1M_1B_1$ нужно разделить стороны изображения треугольника $P_1K_1F_1$ в тех же отношениях.

1. Находим точку $E_1$. Делим отрезок $P_1K_1$ в отношении $P_1E_1:E_1K_1 = 1:3$. Для этого можно разделить $P_1K_1$ на 4 равные части и отложить одну часть от точки $P_1$.
2. Находим точку $B_1$. Делим отрезок $P_1F_1$ в отношении $P_1B_1:B_1F_1 = 3:1$. Для этого делим $P_1F_1$ на 4 равные части и откладываем три части от точки $P_1$.
3. Находим точку $M_1$. Делим отрезок $K_1F_1$ в отношении $K_1M_1:M_1F_1 = 3:1$ (или $F_1M_1:M_1K_1 = 1:3$). Делим $K_1F_1$ на 4 равные части и откладываем одну часть от точки $F_1$.
4. Строим ромб. Соединяем последовательно точки $P_1, E_1, M_1, B_1$. Полученный четырехугольник $P_1E_1M_1B_1$ является искомым изображением ромба $PEMB$.

Ответ: Изображение ромба построено путем соединения точек P_1, E_1, M_1 и B_1, найденных делением сторон треугольника P_1K_1F_1 в вычисленных отношениях $P_1E_1:E_1K_1=1:3$, $P_1B_1:B_1F_1=3:1$ и $F_1M_1:M_1K_1=1:3$.